Z-transform

 Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2023-07)
Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Z-transformen används inom matematik och signalbehandling för att konvertera tidsdiskreta signaler (en sekvens av reella eller komplexa tal) till en komplexvärd representation i frekvensdomänen. Z-transformen är nära besläktad med fouriertransformen.

Z-transformen motsvaras i den tidskontinuerliga domänen av laplacetransformen.

Definition

Z-transformen av en signal x ( n ) {\displaystyle x(n)} är funktionen X ( z ) {\displaystyle X(z)} och definieras som

Z ( { x ( n ) } ) = X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) z − n {\displaystyle {\mathcal {Z}}(\{x(n)\})=X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n}}

där n {\displaystyle n} är ett heltal och z {\displaystyle z} är ett komplext tal.

Om x ( n ) {\displaystyle x(n)} skall konverteras endast för icke-negativa värden av n, kan Z-transformens definition skrivas

Z ( { x ( n ) } ) = X ( z ) = ∑ n = 0 ∞ x ( n ) z − n {\displaystyle {\mathcal {Z}}(\{x(n)\})=X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x(n)z^{-n}}

Den senare kallas ibland för den enkelsidiga Z-transformen och den förra dubbelsidig. Inom signalbehandling används den enkelsidiga om signalen är kausal.

Egenskaper

  • Linearitet. Z-transformen av en linjärkombination av två signaler är lika med linjärkombinationen av de två individuella Z-transformerna:
Z ( { a 1 x 1 ( n ) + a 2 x 2 ( n ) } ) = a 1 Z ( { x 1 ( n ) } ) + a 2 Z ( { x 2 ( n ) } ) {\displaystyle {\mathcal {Z}}(\{a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n)\})=a_{1}{\mathcal {Z}}(\{x_{1}(n)\})+a_{2}{\mathcal {Z}}(\{x_{2}(n)\})}
  • Tidsförskjutning av signalen med k {\displaystyle k} steg är detsamma som att multiplicera Z-transformen(gäller endast för dubbelsidiga) med z − k {\displaystyle z^{-k}} .
Z ( { x ( n − k ) } ) = z − k Z ( { x ( n ) } ) {\displaystyle {\mathcal {Z}}(\{x(n-k)\})=z^{-k}{\mathcal {Z}}(\{x(n)\})}
  • Faltning. Z-transformen av faltningen av två sekvenser är produkten av de två individuella Z-transformerna.
Z ( { x ( n ) } ∗ { y ( n ) } ) = Z ( { x ( n ) } ) Z ( { y ( n ) } ) {\displaystyle {\mathcal {Z}}(\{x(n)\}*\{y(n)\})={\mathcal {Z}}(\{x(n)\}){\mathcal {Z}}(\{y(n)\})}
  • Derivering.
Z ( { n x ( n ) } ) = − z d Z ( { x ( n ) } ) d z {\displaystyle {\mathcal {Z}}(\{nx(n)\})=-z{{d{\mathcal {Z}}(\{x(n)\})} \over dz}}

Den inversa Z-transformen kan beräknas som

x ( n ) = 1 2 π i ∮ C X ( z ) z n − 1 d z {\displaystyle x(n)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}\,dz}

där C {\displaystyle C} är en sluten kurva kring origo som ligger innanför X ( z ) {\displaystyle X(z)} :s konvergensradie.

Den diskreta fouriertransformen är ett specialfall av Z-transformen med z = e j ω {\displaystyle z=e^{j\omega }} .

Tillämpningar

Z-transformen kan användas för att lösa vissa differensekvationer. En differensekvation på formen

∑ k = 0 l a k x ( n − k ) = b {\displaystyle \sum _{k=0}^{l}a_{k}x(n-k)=b}

där a1, ..., al, b är konstanter, kan, om man antar att Z-transformen av x är X, transformeras till

∑ k = 0 l a k z − k X ( z ) = b z z − 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{l}a_{k}z^{-k}X(z)={\frac {bz}{z-1}}}

som man sedan kan bryta ut X ur:

X ( z ) = b z ( z − 1 ) ∑ k = 0 l a k z − k . {\displaystyle X(z)={\frac {bz}{(z-1)\sum _{k=0}^{l}a_{k}z^{-k}}}.}

Detta uttryck kan sedan inverstransformeras medelst exempelvis partialbråksuppdelning och tabell eller residykalkyl för att erhålla x.

Se även

  • Genererande funktion