Separabelt rum

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2019-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Inom matematiken kallas ett topologiskt rum separabelt om det har en uppräknelig tät delmängd.

Exempel

• Den reella tallinjen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ utrustad med sin vanliga topologi är separabel , eftersom den har mängden av rationella tal som en uppräknelig tät delmängd.

• Utrustas däremot den reella tallinjen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ med en topologi bestående av den tomma mängden och alla mängder vars komplement består av ändliga mängder kommer ${\displaystyle \mathbb {R} }$ inte längre vara separabelt.

Egenskaper

• Ett delrum av ett separabelt rum behöver inte vara separabelt, men alla öppna delrum av ett separabelt rum är separabelt. Varje delrum av ett separabelt metriskt rum är separabelt..
• Varje topologiskt rum är ett delrum av ett separabelt rum med samma kardinalitet.
• Om X är ett separabelt rum som har ett överuppräkneligt slutet diskret delrum kan X inte vara normalt.
• För ett kompakt Hausdorffrum X är följande ekvivalenta:

(i) Rummet ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )}$ av kontinuerliga reellvärda funktioner över X med supremumnormen är separabelt.

(ii) X är metriserbart.