Rădăcină a unității

Reprezentarea grafică a celor cinci rădăcini de ordinul cinci ale unității

În analiza complexă, rădăcinile unității (numite uneori și numerele lui de Moivre) sunt acele numere complexe care, ridicate la o putere cu exponent număr natural n, dau ca rezultat unitatea. Studiul acestora apare în contextul calculării rădăcinii de ordinul n a unui număr complex oarecare.

Un astfel de număr z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } este soluție a ecuației binome:

z n = 1. {\displaystyle z^{n}=1.}

Utilizând formula lui Moivre, se constată că rădăcinile de ordinul n ale unității sunt de forma:

ε k = cos ⁡ 2 k π n + i sin ⁡ 2 k π n , k ∈ { 0 , 1 , 2 , ⋯ , n − 1 } {\displaystyle \varepsilon _{k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\;k\in \{0,1,2,\cdots ,n-1\}}

Sunt situate geometric pe cercul unitate cu centru în origine.

Fifth roots of unity
Rotations of a pentagon
Izomorfism între grupul multiplicativ al rădăcinilor de ordin cinci ale unității și grupul rotațiilor pentagonului echilateral

Cazuri particulare

  • n = 1 ε = ε 0 = 1 {\displaystyle n=1\;\;\;\;\varepsilon =\varepsilon _{0}=1}
  • n = 2 ε 0 = 1 , ε 1 = − 1 {\displaystyle n=2\;\;\;\;\varepsilon _{0}=1,\;\varepsilon _{1}=-1}
  • n = 3 ε 0 = 1 , ε 1 = − 1 2 + i 3 2 , ε 2 = − 1 2 − i 3 2 {\displaystyle n=3\;\;\;\;\varepsilon _{0}=1,\;\varepsilon _{1}=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}},\;\varepsilon _{2}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
  • n = 4 ε 0 = 1 , ε 1 = i , ε 2 = − 1 , ε 3 = − i {\displaystyle n=4\;\;\;\;\varepsilon _{0}=1,\;\varepsilon _{1}=i,\varepsilon _{2}=-1,\;\varepsilon _{3}=-i}

Rădăcinile unui număr complex oarecare

Cea mai importantă aplicație a rădăcinilor unității o constituie calculul rădăcinilor unui număr complex oarecare. Fie acesta z = x + i y , x , y ∈ R , {\displaystyle z=x+iy,\;x,y\in \mathbb {R} ,} care se va scrie sub formă trigonometrică:

z = ρ ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) , {\displaystyle z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),}

unde ρ = | z | = x 2 + y 2 {\displaystyle \rho =|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} este modulul numărului, iar θ = arctan ⁡ y x . {\displaystyle \theta =\arctan {\frac {y}{x}}.}

Atunci rădăcinile de ordinul n ale numărului z sunt de forma:

w k = | z | n ⋅ [ cos ⁡ ( θ n + 2 k π n ) + i sin ⁡ ( θ n + 2 k π n ) ] . {\displaystyle w_{k}={\sqrt[{n}]{|z|}}\cdot \left[\cos \left({\frac {\theta }{n}}+{\frac {2k\pi }{n}})+i\sin({\frac {\theta }{n}}+{\frac {2k\pi }{n}}\right)\right].}
Portal icon Portal Matematică
 Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui.