Formă pătratică

Forma pătratică este o expresie algebrică polinom omogen de gradul doi într-un număr de variabile. De exemplu pentru două variabile

4 x 2 + 2 x y − 3 y 2 {\displaystyle 4x^{2}+2xy-3y^{2}}

este o formă pătratică în variabilele x {\displaystyle \scriptstyle x} și y {\displaystyle \scriptstyle y} . Pentru trei variabile x, y, z forma pătratică asociată e

a x 2 + b y 2 + c z 2 + d x y + e x z + f y z {\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz}

Formele pătratice apar în diverse domenii ale matematicii ca geometria și topologia diferențială, teoria numerelor etc.

În cazul general, o formă pătratică este un polinom omogen de gradul al doilea cu variabilele x 1 , x 2 , ⋯ , x n : {\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}:}

f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = a 11 ⋅ x 1 2 + a 22 ⋅ x 2 2 + ⋯ + a n n ⋅ x n 2 + 2 a 12 x 1 ⋅ x 2 + ⋯ + 2 a n n − 1 x n − 1 ⋅ x n . {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=a_{11}\cdot x_{1}^{2}+a_{22}\cdot x_{2}^{2}+\cdots +a_{nn}\cdot x_{n}^{2}+2a_{12}x_{1}\cdot x_{2}+\cdots +2a_{nn-1}x_{n-1}\cdot x_{n}.}

Numărul termenilor micști in care apar produse de câte două variabile e egal cu numărul combinărilor de n luate câte 2.

Matricea simetrică ( a i j ) n {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}}_{n}} se numește matricea atașată formei pătratice f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) . {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}).}

Formele pătratice au numeroase aplicații în analiză matematică, geometrie și mecanică. Studiul formelor pătratice binare (cu două nedeterminate) a fost introdus de Lagrange în 1767, rezultate importante se datorează lui Gauss (1801), iar Dirichlet în 1842 a dezvoltat formele pătratice binare.

O formă pătratică cu a i j = 0 , {\displaystyle a_{ij}=0,} pentru i ≠ j , {\displaystyle i\neq j,} se numește formă canonică. Matricea atașată unei forme canonice este o matrice diagonală.

Vezi și

 Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui.