Raiz cúbica

Representação gráfica da função: y = x 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}

Em ciências e matemática a raiz cúbica de um número x {\displaystyle x} (expressa como x 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}} ou x 1 3 {\displaystyle x^{1 \over 3}} ), é o valor numérico tal que, ao ser multiplicado três vezes por si mesmo, dá como resultado x . {\displaystyle x.} Por exemplo, a raiz cúbica de 27 é 3, já que 3 × 3 × 3 = 27. {\displaystyle 3\times 3\times 3=27.}

Em geral, um número real possui três raízes cúbicas, uma correspondente a um número real, e as outras duas a números complexos. Assim, as raízes cúbicas de 8 são:

8 3 = {     2 − 1 + i 3 − 1 − i 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}={\begin{cases}\ \ 2\\-1+i{\sqrt {3}}\\-1-i{\sqrt {3}}\end{cases}}}

A operação de calcular a raiz cúbica de um número é uma operação associativa com a potenciação e distributiva com a multiplicação e divisão, mas não é associativa ou distributiva com a soma ou a subtração.

Definição formal

As raízes cúbicas de um número x {\displaystyle x} são números y {\displaystyle y} que satisfazem a equação

y 3 = x {\displaystyle y^{3}=x}

Números reais

Se x e y são reais, então existe uma única solução tal que a equação tem apenas uma única solução, e esta corresponde a um número real. Se é empregada esta definição, a raiz cúbica de um número negativo é também um número negativo. Desta forma o princípio da raiz cúbica de x é representada igualmente por:

x 3 = x 1 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}=x^{1 \over 3}}

Se x e y são ambos complexos, então se pode dizer que possui três soluções (se x não é nulo) e assim x tem três raízes cúbicas: uma raiz real e duas complexas, na forma de par conjugado. Este facto deixa interessantes resultados dentro das matemática.

Por exemplo, as raízes do número 1 são:

1 3 = {     1 − 1 2 + 3 2 i − 1 2 − 3 2 i {\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}\ \ 1\\-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\\-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\end{cases}}}

Estas duas raízes se relacionam com todas as outras raízes cúbicas de outros números. Se um número é raiz cúbica de um número real as raízes cúbicas podem ser calculadas multiplicando o número pelas raízes da raiz cúbica de um.

Números complexos

Para os números complexos, o valor principal das raízes cúbicas se define como:

x 1 3 = exp ⁡ ( ln ⁡ x 3 ) {\displaystyle x^{1 \over 3}=\exp \left({\ln {x} \over 3}\right)}

Onde ln(x) é o logaritmo natural. Se é escrito x como

x = r exp ⁡ ( i θ ) {\displaystyle x=r\exp(i\theta )}

Onde r é um número real positivo e θ {\displaystyle \theta } cai no intervalo:

− π < θ ≤ π , {\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi ,}

então a raiz cúbica é

x 3 = r 3 exp ⁡ ( i θ 3 ) . {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({i\theta \over 3}\right).}

Isto significa que em coordenadas polares ao tomar a raiz cúbica de um número complexo se está tomando a raiz cúbica do raio e o ângulo polar está sendo dividido em três partes de tal forma que define as três raízes. Com esta definição, a raiz cúbica de um número negativo é um número complexo, e por exemplo − 8 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}} não será -2, senão 1 + i 3 . {\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}.} Naqueles programas que aceitam resultados imaginários (tais como Mathematica), o gráfico da raiz cúbica de x no plano dos números reais dará como resultados valores negativos da raiz por igual..

A raiz cúbica em uma calculadora de mão

Procedente da seguinte identidade:

1 3 = 1 2 2 ( 1 + 1 2 2 ) ( 1 + 1 2 4 ) ( 1 + 1 2 8 ) ( 1 + 1 2 16 ) … , {\displaystyle {\frac {1}{3}}={\frac {1}{2^{2}}}\left(1+{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{4}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{8}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{16}}}\right)\dots ,}

Existe um método simples para poder calcular a raiz cúbica de um número em uma calculadora não-científica, o qual requer só as operações aritméticas de multiplicação e raiz quadrada. Não se requer além disso a memória. Se descreve a seguir:

  • Pressiona-se o botão de raiz quadrada, duas vezes.
  • Pressiona-se o botão de multiplicação.
  • Pressiona-se o botão de raiz quadrada duas vezes.
  • Pressiona-se o botão de multiplicação.
  • Pressiona-se o botão de raiz quadrada quatro vezes.
  • Pressiona-se o botão de multiplicação.
  • Pressiona-se o botão de raiz quadrada oito vezes.
  • Pressiona-se o botão de multiplicação...

O processo é continuado até que número que apareça no visor permaneça sem alterar-se, isto ocorre devido a que tem que aparecer 1 ou um número tal que 0,9999999... (isto significa que se tenha chegado ao limite da precisão da calculadora). Neste momento se pressiona o botão de raiz quadrada uma vez mais e o número que aparece no visor corresponderá a melhor aproximação que a calculadora pode proporcionar da raiz cúbica do número original. No método anterior se substitui a primeira multiplicação por uma divisão, sem modificar o restante do algoritmo, no lugar de averiguar a raiz cúbica se averigua a raiz quinta.

Cálculo manual da raiz cúbica

Igualmente como com as raízes quadradas, existe também uma operação que, ainda que muito pouco utilizada por haver métodos mais simples para resolvê-las, serve para obter o resultado da raiz cúbica de um número dado, a operação é a seguinte: 

————————|
  1331  |11
 -1     |——————————————
 ——     |300·1²·3= 900
  0331  | 30·1·3²= 270
  -331  |      3³=  27
  ————  |         ————
   000  |         1197
        |se passa de 331
        |
        |300·1²·2= 600
        | 30·1·2²= 120
        |      2³=   8
        |         ————
        |          728  
        |se passa de 331
        |
        |300·1²·1= 300
        | 30·1·1²=  30
        |      1³=   1
        |          ———
        |          331
        |é igual ou menor
        |a 331

Explicação da operação:

  1. Separam-se os dígitos de 3 em 3 da direita para a esquerda à direita da vírgula se não tem decimais e se os tem então as cifras decimais são separadas de 3 em 3 da esquerda para a direita.
  2. Procura-se um número cujo cubo seja igual ou menor (se é menor sempre a cifra mais alta possível sem chegar a ultrapassá-lo) à primeira cifra ou conjunto de cifras que se encontram primeiro (à esquerda).
  3. À primeira cifra ou conjunto de cifras se lhe resta esse número cujo cubo é igual ou menor ao primeiro conjunto de cifras, e põe-se esse resultado baixando-se ao lado o seguinte grupo de três cifras.

Fórmula Luderiana Racional para Extração de Raiz Cúbica

A raiz cúbica de um número complexo (com aproximadamente 6 casas decimais de precisão) pode ser calculada pela seguinte fórmula - descoberta por Ludenir Santos do estado de Rio Grande do Sul:


c 3 = k . ( 29 z 3 + 261 z 2 + 255 z + 22 7 z 3 + 165 z 2 + 324 z + 71 ) {\displaystyle {\sqrt[{3}]{c}}=k.\left({29z^{3}+261z^{2}+255z+22 \over 7z^{3}+165z^{2}+324z+71}\right)}

Onde:

c 3 = k 3 . z 3 , {\displaystyle {\sqrt[{3}]{c}}={\sqrt[{3}]{k^{3}.z}},}
para todo k complexo diferente de "0".

Observe que c, k, z são valores conhecidos.

c é o radicando, ou seja, o número para o qual desejamos saber a raiz cúbica;

k é a base do cubo perfeito mais próximo de c;

Da igualdade, c 3 = k 3 . z 3 , {\displaystyle {\sqrt[{3}]{c}}={\sqrt[{3}]{k^{3}.z}},} tem-se:

c = k 3 . z {\displaystyle {c}={k^{3}.z}}


Logo, z = c k 3 {\displaystyle {z}={c \over k^{3}}}

O valor de z deve ser o mais próximo possível de "1".

k não precisa ser, obrigatoriamente, um inteiro. A fim de tornar z mais próximo de "1" pode-se trabalhar com k racional.

Exemplos:

a) 61 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{61}}}

c 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{c}}}

c = 61 {\displaystyle c=61}

27 < 61 < 64 {\displaystyle {27<61<64}}
3 3 < 61 < 4 3 {\displaystyle {3^{3}<61<4^{3}}}

k 3 = 4 3 {\displaystyle {k^{3}}=4^{3}}

k = 4 {\displaystyle k=4}

Como z = c k 3 {\displaystyle {z}={c \over k^{3}}} então z = 61 64 => z = 0.953125 {\displaystyle {z}={61 \over 64}=>z=0.953125}

Aplicando-se o valor de "z" na fórmula luderiana (acima), tem-se:

61 3 = 4 ( 0.984124295794616 ) {\displaystyle {\sqrt[{3}]{61}}=4(0.984124295794616)}

61 3 = 3.936497183 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{61}}=3.936497183}


Por tratar-se de raiz cúbica, existem mais duas raízes que iremos calcular através das seguintes fórmulas:

x 2 = − x 1 + − 3. ( x 1 ) 2 2 {\displaystyle x2={-x1+{\sqrt {-3.(x1)^{2}}} \over 2}}


x 3 = − x 1 − − 3. ( x 1 ) 2 2 {\displaystyle x3={-x1-{\sqrt {-3.(x1)^{2}}} \over 2}}


Portanto,

x 1 = 3.936497183 {\displaystyle {x1}=3.936497183}

x 2 = − 1.968248591 + 3.409106562 i {\displaystyle {x2}=-1.968248591+3.409106562i}

x 3 = − 1.968248591 − 3.409106562 i {\displaystyle {x3}=-1.968248591-3.409106562i}


Estimando o valor de "k" para Reais

Separe os digitos do radicando em grupos de 3 digitos, do final para o início.

Encontre a raiz cúbica aproximada, apenas para o 1o grupo.

Para cada um dos demais grupos, adotar zero.


No exemplo 33.143.428 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{33.143.428}}} podemos considerar k = 300 {\displaystyle k=300}


O "3" substitui o 1o grupo porque é a base do cubo perfeito mais próximo de "33", ou seja, 3 3 = 27 {\displaystyle 3^{3}=27}

Um "0" para substituir o 2o grupo que, no caso, é "143"

Outro "0" para substituir o 3o grupo que, no caso, é "428".


Estimando o valor de "k" para Imaginários

Seja o complexo a + b i {\displaystyle a+bi} então ...

1) Sobre o valor absoluto de "k":

Somar os valores absolutos de a {\displaystyle a} e b , {\displaystyle b,} ou seja, nesta soma deve-se desconsiderar os sinais de a {\displaystyle a} e b . {\displaystyle b.} ..

A estimativa será a base do cubo perfeito mais proximo desta soma.

2) Sobre o sinal de "k":

O sinal de "k" é será igual ao sinal do maior termo do complexo a + b i , {\displaystyle a+bi,} ou seja, se |a| for maior que |b| então adotar o sinal de "a" senão adotar o sinal de "b".


b) 11 + 197 i 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{11+197i}}}

c 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{c}}}

c = 11 + 197 i {\displaystyle c=11+197i}

Estimando o valor de k ...

Valor:

| 11 | + | 197 | = 208 {\displaystyle {|11|+|197|=208}}

125 < 208 < 216 {\displaystyle {125<208<216}}

5 3 < 208 < 6 3 {\displaystyle {5^{3}<208<6^{3}}}

k = 6 {\displaystyle k=6}

Sinal:

Como |b|>|a| então k receberá o sinal de "b".

k {\displaystyle k}
é positivo.

Como z = c k 3 {\displaystyle {z}={c \over k^{3}}} então z = 11 + 197 i 6 3 => z = 0.0509259259259259 + 0.912037037037037 i {\displaystyle {z}={11+197i \over 6^{3}}=>z=0.0509259259259259+0.912037037037037i}

Aplicando-se o valor de "z" na fórmula luderiana (acima), tem-se:

11 + 197 i 3 = 6. ( 0.845837867090806 + 0.466844946251768 i ) {\displaystyle {\sqrt[{3}]{11+197i}}=6.(0.845837867090806+0.466844946251768i)}

11 + 197 i 3 = 5.07502720254484 + 2.80106967751061 i {\displaystyle {\sqrt[{3}]{11+197i}}=5.07502720254484+2.80106967751061i}

Como o valor de "k" foi estimado então precisamos reaplicar a fórmula:

k = 5.07502720254484 + 2.80106967751061 i {\displaystyle k=5.07502720254484+2.80106967751061i}

z = c k 3 {\displaystyle {z}={c \over k^{3}}}
então z = 11 + 197 i ( 5.07502720254484 + 2.80106967751061 i ) 3 => z = 1.01296791900645 + 0.00206735560872315 i {\displaystyle {z}={11+197i \over (5.07502720254484+2.80106967751061i)^{3}}=>z=1.01296791900645+0.00206735560872315i}

Aplicando-se o valor de "z" na fórmula luderiana (acima), tem-se:

11 + 197 i 3 = ( 5.07502720254484 + 2.80106967751061 i ) . ( 1.00430455271257 + 0.000683224035207582 i ) {\displaystyle {\sqrt[{3}]{11+197i}}=(5.07502720254484+2.80106967751061i).(1.00430455271257+0.000683224035207582i)}

11 + 197 i 3 = 5.094959166527 + 2.816594410153 i {\displaystyle {\sqrt[{3}]{11+197i}}=5.094959166527+2.816594410153i}

Por tratar-se de raiz cúbica, existem mais duas raízes que iremos calcular através das seguintes fórmulas:

x 2 = − x 1 + − 3. ( x 1 ) 2 2 {\displaystyle x2={-x1+{\sqrt {-3.(x1)^{2}}} \over 2}}

x 3 = − x 1 − − 3. ( x 1 ) 2 2 {\displaystyle x3={-x1-{\sqrt {-3.(x1)^{2}}} \over 2}}

Portanto,

x 1 = 5.094959166527 + 2.816594410153 i {\displaystyle {x1}=5.094959166527+2.816594410153i}

x 2 = − 0.108237271914 − 5.820661274534 i {\displaystyle {x2}=-0.108237271914-5.820661274534i}

x 3 = − 4.986721894613 + 3.004066864381 i {\displaystyle {x3}=-4.986721894613+3.004066864381i}