Paradoxo do litoral
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Britain-fractal-coastline-100km.png/180px-Britain-fractal-coastline-100km.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Britain-fractal-coastline-50km.png/180px-Britain-fractal-coastline-50km.png)
O paradoxo do litoral é a observação contraintuitiva de que o litoral de uma massa terrestre não tem um comprimento bem definido. Isso resulta das propriedades semelhantes às fractais das linhas costeiras, ou seja, o fato de que um litoral tipicamente tem uma dimensão fractal (o que de fato torna a noção de comprimento inaplicável). A primeira observação registrada deste fenômeno foi por Lewis Fry Richardson[1] e foi expandido por Benoit Mandelbrot.[2]
A extensão medida de um litoral depende do método usado para medi-la e do grau de generalização cartográfica. Como uma massa de terra tem diversas características em todas as escalas, de centenas de quilômetros de tamanho a minúsculas frações de um milímetro ou menos, não há tamanho óbvio do menor recurso que deve ser levado em consideração ao medir isso e, portanto, nenhum perímetro bem definido para o essas massas de terra e seus litorais. Várias aproximações conf. (Minkowski – Bouligand) existem quando hipóteses específicas são feitas sobre o tamanho mínimo do recurso (escala).
O problema é fundamentalmente diferente da medição de outros segmentos mais simples. É possível, por exemplo, medir com precisão o comprimento de uma barra de metal reta e idealizada usando um dispositivo de medição para determinar que o comprimento é menor que uma certa quantidade e maior que outra quantidade - isto é, para medi-lo dentro de um certo grau de incerteza. Quanto mais preciso for o dispositivo de medição, mais próximos serão os resultados para o comprimento real do que vai ser medido. Ao medir um litoral, no entanto, a questão é que o resultado não aumenta em precisão para um aumento no critério da medição – o resultado só aumenta; diferentemente da barra de metal, não há como obter um valor máximo para o comprimento de um litoral.
No espaço tridimensional, o paradoxo do litoral é prontamente estendido ao conceito de superfícies fractais pelo qual a área de uma superfície varia, dependendo da resolução da medição.
Aspectos matemáticos
O conceito básico de comprimento tem origem em distância euclidiana. Na geometria euclidiana, uma linha reta representa a menor distância entre dois pontos. Essa linha tem apenas um comprimento. Na superfície de uma esfera, essa é substituída pelo comprimento geodésico (também chamado comprimento sobre grande círculo), que é medido ao longo da curva de superfície que existe no plano contendo ambos os pontos finais e o centro da esfera. O comprimento do arco, das curvas básicas é mais complicado, mas também pode ser calculado. Medindo com réguas, pode-se aproximar o comprimento de uma curva adicionando a soma das linhas retas que conectam os pontos:
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Usar algumas linhas retas para aproximar o comprimento de uma curva produzirá uma estimativa menor que o valor real; quando linhas cada vez mais curtas (e, portanto, mais numerosas) são usadas, a soma se aproxima do comprimento mais real da curva. Um valor preciso para este comprimento pode ser encontrado usando cálculo, o ramo da matemática que permite o cálculo de distâncias infinitamente pequenas. A animação a seguir ilustra como a uma curva “smooth” pode ser significativamente atribuído um comprimento preciso
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/dc/Arc_length.gif)
No entanto, nem todas as curvas podem ser medidas dessa maneira. Um fractal é, por definição, uma curva cuja complexidade muda com a escala de medição. Enquanto as aproximações de uma curva suave tendem para um único valor à medida que a precisão da medição aumenta, o valor medido para um fractal não converge.
![S1](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9a/Sierpi%C5%84ski_curve_order_1.svg/66px-Sierpi%C5%84ski_curve_order_1.svg.png)
![S2](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Sierpi%C5%84ski_curve_order_2.svg/66px-Sierpi%C5%84ski_curve_order_2.svg.png)
![S3](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Sierpi%C5%84ski_curve_order_3.svg/66px-Sierpi%C5%84ski_curve_order_3.svg.png)
![S4](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/Sierpi%C5%84ski_curve_order_4.svg/66px-Sierpi%C5%84ski_curve_order_4.svg.png)
![S5](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Sierpi%C5%84ski_curve_order_5.svg/66px-Sierpi%C5%84ski_curve_order_5.svg.png)
Como o comprimento de uma curva fractal sempre diverge ao infinito, se alguém fosse medir um litoral com resolução infinita ou quase infinita, o comprimento das dobras infinitamente curtas no litoral aumentaria até o infinito.[3] No entanto, essa figura se baseia no pressuposto de que o espaço pode ser subdividido em seções infinitesimais. O valor de verdade dessa suposição - que fundamenta a geometria euclidiana e serve como um modelo útil na medição cotidiana - é uma questão de especulação filosófica e pode ou não refletir as realidades mutáveis do "espaço" e da "distância" num nível quase atômico (aproximadamente a escala de um nanômetro). Por exemplo, a longitude de Planck, muitas ordens de grandeza menor que um átomo, é proposta como a menor unidade mensurável possível no universo.
As linhas costeiras são menos definidas em sua construção do que os fractais idealizados, como o conjunto de Mandelbrot, porque são formadas por vários eventos naturais que criam padrões de maneiras estatisticamente aleatórias, enquanto os fractais idealizados são formados por repetidas iterações de simples, sequências estereotipadas.[4]
Notas
- ↑ Weisstein, Eric W. «Coastline Paradox» (em inglês). MathWorld
- ↑ Mandelbrot, Benoit (1983). The Fractal Geometry of Nature. [S.l.]: W.H. Freeman and Co. 25–33. ISBN 978-0-7167-1186-5
- ↑ Post & Eisen, p. 550.
- ↑ Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science; Spring, 2004; p. 424.
Bibliografia
- Post, David G., and Michael Eisen. "How Long is the Coastline of Law? Thoughts on the Fractal Nature of Legal Systems". Journal of Legal Studies XXIX(1), January 2000.
Ligações externas
- "Coastlines" at Fractal Geometry (ed. Michael Frame, Benoit Mandelbrot, and Nial Neger; maintained for Math 190a at Yale University)
- The Atlas of Canada – Coastline and Shoreline
- NOAA GeoZone Blog on Digital Coast
- What Is The Coastline Paradox? – YouTube video by Veritasium
- The Coastline Paradox Explained – YouTube video by RealLifeLore
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