Em estatística e em teoria das probabilidades, matriz de covariância é uma matriz, simétrica, que sumariza a covariância entre N variáveis.
Definição
Se os elementos de um vetor coluna
![{\displaystyle X={\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\\vdots \\X_{n}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd81223043661d7ac0de37dcf38e7d1706540299)
forem variáveis aleatórias, cada uma com variância finita, então a matriz de covariância será a matriz cujo elemento (i, j) é a covariância
![{\displaystyle \Sigma _{ij}=\mathrm {cov} (X_{i},X_{j})=\mathrm {E} {\begin{bmatrix}(X_{i}-\mu _{i})(X_{j}-\mu _{j})\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68191bcc437cc701ba64d5a5e27d05d466f2b7e7)
em que
![{\displaystyle \mu _{i}=\mathrm {E} (X_{i})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13ed35d7e980f9dc3427f081ede073199802bca)
é o valor esperado do i-ésimo elemento do vetor X. Em outras palavras, temos
![{\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{1}-\mu _{1})]&\mathrm {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{2}-\mu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{n}-\mu _{n})]\\\\\mathrm {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{1}-\mu _{1})]&\mathrm {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{2}-\mu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{n}-\mu _{n})]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{1}-\mu _{1})]&\mathrm {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{2}-\mu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{n}-\mu _{n})]\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1543dbf45cf13963a29238da42d30ad9dc8b07cb)
A covariância entre um elemento
e ele mesmo é a sua variância e forma a diagonal principal da matriz. A inversa desta matriz,
, é chamada matriz de covariância inversa ou matriz de precisão.[1]
Generalização do conceito
A definição acima é equivalente à multiplicação do vetor coluna pela sua transposta
![{\displaystyle \Sigma =\mathrm {E} \left[\left({\textbf {X}}-\mathrm {E} [{\textbf {X}}]\right)\left({\textbf {X}}-\mathrm {E} [{\textbf {X}}]\right)^{\top }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a9f117f4cfd23a38f35a88121160de3e5d3ef5)
Propriedades
- Todas as matrizes de covariância são positivas semi definidas.
Ver também
Notes
- ↑ Larry Wasserman (2004). Tudo sobre Estatística: Um Curso Conciso sobre Inferência Estatística. [S.l.: s.n.]
Referências
- KAMPEN, N.G. van. Processos Estocásticos em Física e Química. New York: North-Holland, 1981.
- «Um Manual de Estatística»
- «Mean Vector and Covariance Matrix»
- «Covariance, variance and correlation» (PDF)
- «Covariance matrix»
- «Covariance and Correlation»
Classes de matriz |
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Elementos explicitamente restritos | |
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Constante | |
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Condições sobre autovalores e autovetores | |
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Satisfazendo condições sobre produtos ou inversas | |
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Com aplicações específicas | |
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Usada em estatística | - Bernoulli
- Centro
- Correlação
- Covariância
- Dispersão
- Duplamente estocástica
- Informação de Fisher
- Projeção
- Precisão
- Estocástica
- Transição
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Usada em teoria dos grafos | |
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Usada em ciência e engenharia | |
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Termos relacionados | |
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