Difeomorfismo

Em matemática, um difeomorfismo é um isomorfismo na categoria das variedades diferenciáveis. Ele é uma invertível que leva uma variedade diferenciável em outra, de modo que tanto a função quanto sua inversa sejam suaves.

Definição

Duas variedades diferenciáveis dizem-se difeomeomorfas se existir uma aplicação entre essas variedades que seja diferenciável, invertível e a sua inversa seja diferenciável.

Seja ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ uma aplicação entre variedades diferenciáveis. Então ${\displaystyle f}$ diz-se um difeomorfismo se as funções ${\displaystyle \phi _{i}f\psi _{i}^{-1}}$ forem invertíveis e tanto elas como as suas inversas tiverem derivadas de todas as ordens.

Exemplos

1 Seja ${\displaystyle M\subset R^{n}}$ um subconjunto. Se ${\displaystyle f:M\rightarrow \mathbb {R} ^{k}}$ é uma aplicação suave, então o gráfico de ${\displaystyle f}$ é difeomorfo a ${\displaystyle M}$.

2 Para qualquer ${\displaystyle p\in S^{n}}$, tem-se que ${\displaystyle {\frac {S^{n}}{p}}}$ é difeomorfo a ${\displaystyle R^{n}}$. Assim este difeomorfismo é a canônica aplicação estereográfica.

3 Sejam ${\displaystyle \alpha :I\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ uma curva regular e ${\displaystyle s:I\rightarrow \alpha (I)=J}$ a função comprimento de arco a partir de ${\displaystyle t_{0}\in I}$. Então ${\displaystyle s:I\rightarrow J}$ é um difeomorfismo.

4 A aplicação ${\displaystyle h=X^{-1}\circ Y}$${\displaystyle :}$${\displaystyle Y^{-1}(W)\rightarrow X^{-1}(W)}$ é um difeomorfismo ${\displaystyle C^{\infty }}$.^[1]

Outras noções de igualdade topológica

• Homeomorfismo
• Equivalência homotópica
• Geometria diferencial

Referências

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• Portal da matemática