Coordenadas cilíndricas parabólicas

Superfícies coordenadas das coordenadas cilíndricas parabólicas. O cilindro parabólico vermelho corresponde a σ = 2, enquanto o cilindro parabólico amarelo corresponde a τ = 1. O plano azul corresponde a z= 2. Estas superfícies se cruzam no ponto P (mostrado como uma esfera preta), cujas coordenadas cartesianas são aproximadamente (2, -1,5, 2).

Em matemática, as coordenadas cilíndricas parabólicas são um sistema de coordenadas ortogonais tridimensionais que resultam da projeção do sistema de coordenadas parabólicas bidimensional na direção perpendicular a z {\displaystyle z} . Assim, as superfícies coordenadas são cilindros parabólicos confocais. As coordenadas cilíndricas parabólicas possuem inúmeras aplicações como, por exemplo, na teoria potencial das arestas.

Definição básica

Sistema de coordenadas parabólicas mostrando as curvas com σ e τ constantes. Os eixos horizontal e vertical são as coordenadas x e y, respectivamente. Tais coordenadas são projetadas ao longo do eixo z, e assim este diagrama vale para qualquer valor da coordenada z.

As coordenadas cilíndricas parabólicas ( σ , τ , z ) {\displaystyle (\sigma ,\tau ,z)} são definidas em termos das coordenadas cartesianas (x,y,z)  por:

x = σ τ {\displaystyle x=\sigma \tau \,}
y = 1 2 ( τ 2 − σ 2 ) {\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}
z = z {\displaystyle z=z\,}

As superfícies com σ {\displaystyle \sigma } constante formam cilindros parabólicos confocais de equações

2 y = x 2 σ 2 − σ 2 {\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}

com concavidade voltada para a direção + y {\displaystyle +y} , ao passo que as superfícies com τ {\displaystyle \tau } constante formam cilindros parabólicos confocais de equações

2 y = − x 2 τ 2 + τ 2 {\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}

com concavidade voltada para a direção oposta, isto é, na direção − y {\displaystyle -y} . Os focos de todos estes cilindros parabólicos estão localizados ao longo da reta definida por x = y = 0 {\displaystyle x=y=0} . O raio r tem uma equação simples, a saber,

r = x 2 + y 2 = 1 2 ( σ 2 + τ 2 ) {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}

que é útil na resolução da equação de Hamilton-Jacobi em coordenadas parabólicas para o problema da forca central inversa ao quadrado da distância, da mecânica. Para mais detalhes, ver o artigo vetor de Laplace-Runge-Lenz.

Fatores de escala

Os fatores de escala para as coordenadas cilíndricas parabólicas σ {\displaystyle \sigma } e τ {\displaystyle \tau } são:

h σ = h τ = σ 2 + τ 2 {\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}
h z = 1 {\displaystyle h_{z}=1\,}

O elemento infinitesimal de volume é

d V = h σ h τ h z = ( σ 2 + τ 2 ) d σ d τ d z {\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{z}=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau dz}

e o laplaciano é igual a

∇ 2 Φ = 1 σ 2 + τ 2 ( ∂ 2 Φ ∂ σ 2 + ∂ 2 Φ ∂ τ 2 ) + ∂ 2 Φ ∂ z 2 {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}

Outros operadores diferenciais tais como ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } e ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } podem ser expressos nas coordenadas ( σ , τ ) {\displaystyle (\sigma ,\tau )} substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais em coordenadas ortogonais.

Harmônicos cilindro parabólico

Uma vez que todas as superfícies com σ, τ and z  são conicóides, a equação de Laplace é separável em coordenadas cilíndricas parabólicas. Usando a técnica da separação de variáveis, uma solução independente para a equação de Laplace pode ser escrita como:

V = S ( σ ) T ( τ ) Z ( z ) {\displaystyle V=S(\sigma )\,T(\tau )\,Z(z)}

E a equaçao de Laplace, ao ser dividida por V , é escrita como:

1 σ 2 + τ 2 [ S ¨ S + T ¨ T ] + Z ¨ Z = 0 {\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]+{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=0}

Uma vez que a equação em Z  está separada dos outros termos, podemos escrever

Z ¨ Z = − m 2 {\displaystyle {\frac {\ddot {Z}}{Z}}=-m^{2}}

Onde m  é constante. A solução para Z(z) é:

Z m ( z ) = A 1 e i m z + A 2 e − i m z {\displaystyle Z_{m}(z)=A_{1}\,e^{imz}+A_{2}\,e^{-imz}\,}

Substituindo − m 2 {\displaystyle -m^{2}} por Z ¨ / Z {\displaystyle {\ddot {Z}}/Z}  , a equação de Laplace agora pode ser escrita como:

[ S ¨ S + T ¨ T ] = m 2 ( σ 2 + τ 2 ) {\displaystyle \left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]=m^{2}(\sigma ^{2}+\tau ^{2})}

Ainda podemos separar as funções S  e T  e introduzir uma constante n 2 {\displaystyle n^{2}} para obter:

S ¨ − ( m 2 σ 2 + n 2 ) S = 0 {\displaystyle {\ddot {S}}-(m^{2}\sigma ^{2}+n^{2})S=0}
T ¨ − ( m 2 τ 2 − n 2 ) T = 0 {\displaystyle {\ddot {T}}-(m^{2}\tau ^{2}-n^{2})T=0}

As soluções para essas equaçoes são as funções cilindro parabólico

S m n ( σ ) = A 3 y 1 ( n 2 / 2 m , σ 2 m ) + A 4 y 2 ( n 2 / 2 m , σ 2 m ) {\displaystyle S_{mn}(\sigma )=A_{3}\,y_{1}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})+A_{4}\,y_{2}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})}
T m n ( τ ) = A 5 y 1 ( n 2 / 2 m , i τ 2 m ) + A 6 y 2 ( n 2 / 2 m , i τ 2 m ) {\displaystyle T_{mn}(\tau )=A_{5}\,y_{1}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})+A_{6}\,y_{2}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})}

Os harmônicos cilindro parabólico para (m,n) são então o produto das soluções. A combinação reduz o número de constantes e a solução geral para a equação de Laplace pode ser escrita como:

V ( σ , τ , z ) = ∑ m , n A m n S m n T m n Z m {\displaystyle V(\sigma ,\tau ,z)=\sum _{m,n}A_{mn}S_{mn}T_{mn}Z_{m}\,}

Aplicações

As aplicações clássicas das coordenadas cilíndricas parabólicas encontram-se na resolução de equações diferenciais parciais, como por exemplo a equação de Laplace ou a equação de Helmholtz, para as quais essas coordenadas permitem a utilização da técnica de separação das variáveis. Um exemplo típico seria o [[campo eletrico em torno de uma placa plana semi-infinita condutora.

Ver também

  • Coordenadas ortogonais
  • Sistemas de coordenadas ortogonais bidimensionais:
  • Sistemas de coordenadas ortogonais tridimensionais:

Referências

  • Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Parabolic cylindrical coordinates», especificamente desta versão.
  • Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 658. ISBN [[Special:BookSources/0-07-043316-X, LCCN 52-11515|0-07-043316-X, <span class="noprint">[[Library of Congress Control Number|LCCN]]&nbsp;[http://lccn.loc.gov/52011515 52-11515]</span>]] Verifique |isbn= (ajuda) 
  • Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 186–187. LCCN 55-10911 
  • Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 181. LCCN 59-14456, ASIN B0000CKZX7 
  • Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. p. 96. LCCN 67-25285 
  • Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 114. ISBN 0-86720-293-9  Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk.
  • Moon P, Spencer DE (1988). «Parabolic-Cylinder Coordinates (μ, ν, z)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd, 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. pp. 21–24 (Table 1.04). ISBN 978-0387184302 

Ligações externas

  • Descrição do MathWorld para as coordenadas cilíndricas parabólicas – inglês