Twierdzenie Riesza-Fischera

Twierdzenie Riesza-Fischera – twierdzenie analizy harmonicznej mówiące, że każdy ciąg liczb zespolonych sumowalny z kwadratem jest ciągiem współczynników Fouriera pewnej funkcji całkowalnej z kwadratem, określonej na przedziale ${\displaystyle [-\pi ,\pi ].}$ Teoria została dowiedziona niezależnie przez węgierskiego matematyka Frigyesa Riesza w 1907 oraz Ernsta Sigismunda Fischera w 1908^[1].

Teoria Riesza-Fischera początkowo była teorią związaną jedynie z szeregami Fouriera, pokazuje jednak dużą wagę całki Lebesgue’a oraz jednocześnie dała nowy początek analizie funkcjonalnej^[2].

Definicja

Jeżyli mamy ortogonalny oraz normalny system funkcji ${\displaystyle \phi _{k}(x),}$ które są całkowalne z kwadratem w sensie Lebesgue’a.

To znaczy spełniające warunek:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty .}$

Wtedy każdy ciąg liczb rzeczywistych ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} }$ spełniających warunek ${\displaystyle \sum a_{i}^{2}<\infty }$ implikuje istnienie innej funkcji ${\displaystyle f(x),}$ która spełnia warunek:

${\displaystyle \int f(x)\phi _{i}(x)=a_{i}}$ dla każdego ${\displaystyle i.}$

Stosując uogólnienie całkowania, można stwierdzić, że dla każdego elementu ${\displaystyle l^{2}}$ istnieje odpowiednia funkcja, której współczynniki Fouriera są wektorami w ${\displaystyle l^{2}}$^[3].

Przypisy

Bibliografia

• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
• Witold Pogorzelski: Równania całkowe i ich zastosowania. Tom 1. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1953.