Een symmetrische matrix is in de lineaire algebra een vierkante matrix die symmetrisch is ten opzichte van de hoofddiagonaal. Een symmetrische matrix is gelijk aan de getransponeerde ervan.
Definitie
Een vierkante matrix
noemt men symmetrisch als
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}=\mathbf {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a1633dda12f243f036a4319b43565c2eeac275)
of in termen van de elementen, als voor alle
en
geldt dat
![{\displaystyle a_{rk}=a_{kr}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03aeb4ddd2a7973d5dffcfffe1d6483835098d72)
Eigenschappen
De lineaire afbeelding bepaald door een symmetrische matrix heeft een orthonormale basis van eigenvectoren. De karakteristieke veelterm heeft dan alleen reële oplossingen. Een symmetrische matrix is dus orthogonaal diagonaliseerbaar. Immers, stel dat
en
eigenvectoren zijn bij verschillende eigenwaarden
respectievelijk
van de symmetrische matrix
, dan:
![{\displaystyle \lambda \mu \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \lambda \mathbf {x} ,\mu \mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {Ax} ,\mathbf {Ay} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {A} ^{\text{T}}\mathbf {Ay} \rangle =\mu ^{2}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0013267d24583e97ec24112a6b0da53fa67dd5cb)
Omdat
kan dit alleen als:
![{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91c94233efe3dbc09548f4716e5c44438c7ea8a0)
Voorbeelden
Voorbeelden van symmetrische matrices zijn:
en ![{\displaystyle {\begin{bmatrix}8&2&9{,}8&-47\\2&0&-24&7\\9{,}8&-24&82&3{,}142\\-47&7&3{,}142&-35\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/920686a1241967641d82e90ce06c530bd3ac7649)
- Diagonaalmatrices en de eenheidsmatrix