普遍係数定理

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普遍係数定理（ふへんけいすうていり、英: universal coefficient theorems）とは、単項イデアル整域R上定義されたホモロジーやコホモロジーから、R-加群を係数とするホモロジーやコホモロジーを求める一連の定理の総称である。

定理はR-加群として自由な任意のチェイン複体に対して成立し、したがって特に特異ホモロジー・コホモロジーのような位相幾何学的な背景を持つホモロジー・コホモロジーに対して成立する。

準備

本節では普遍係数定理を述べる準備として、チェイン複体とそのホモロジー、コチェイン複体とそのコホモロジーを復習し、さらに普遍係数定理を定式化するのに必要な概念であるTor関手、Ext関手を定義する。

ホモロジー

Rを可換環とするとき、整数nを添え字として持つR-加群 $C_{n}$ と写像 $\partial _{n}~:~C_{n}\to C_{n-1}$ の組 $C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ で、

\partial _{n-1}\circ \partial _{n}=0

となるものR上のチェイン複体といい^[1]、

H_{n}(C_{*}):=\mathrm {Ker} (\partial _{n})/\mathrm {Im} (\partial _{n+1})

を $C_{*}$ のn次のホモロジー加群という^[1]。

コホモロジー

可換環Rに対し、 $C^{*}=(C^{n},\delta ^{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ で $D_{*}:=(C^{-n},\delta ^{-n})_{n\in \mathbb {Z} }$ がR上のチェイン複体になるものをコチェイン複体といい^[2]、

H^{n}(C^{*}):=H_{n}(D_{*})

を $C^{*}$ のn次のコホモロジー加群という^[2]。

Tor関手

詳細は「Tor関手」を参照

Rを単項イデアル整域とし、M、NをR-加群とする。さらに短完全系列

0\longrightarrow A{\overset {\iota }{\longrightarrow }}B{\overset {p}{\longrightarrow }}M\to 0

でA、Bが自由R-加群であるものを選び^{[注 1]}、

0\longrightarrow A\otimes _{R}N{\overset {\iota \otimes _{R}1_{N}}{\longrightarrow }}B\otimes _{R}N{\overset {p\otimes _{R}1_{N}}{\longrightarrow }}M\otimes _{R}N\longrightarrow 0

を考えると必ずしも完全系列にならない^{[注 2]}。そこで

\mathrm {Tor} _{R}(M,N):=\mathrm {Ker} (\iota \otimes _{R}1_{N})

と定義する^[4]。 $\mathrm {Tor} _{R}(M,N)$ の定義はA、Bの取り方に依存しているが、実はA、Bを別のものに取り替えて定義した $\mathrm {Tor} _{R}(M,N)$ と自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである^[4]。

$\mathrm {Tor} _{R}(\cdot ,\cdot )$ の事をTor関手という。

なお、Rが単項イデアル整域とは限らない一般の環の場合にもTorが定義できるが本項では割愛する。また $\mathrm {Tor} _{R}(M,N)$ の事を $\mathrm {Tor} _{R}^{1}(M,N)$ と表記し、より一般に $\mathrm {Tor} _{R}^{n}(M,N)$ （n≧0）を定義する場合もあるが、これも本項では割愛する。これらに関する詳細はTor関手の項目を参照されたい。

Tor関手は以下の性質を満たす。

命題 ― Rを単項イデアル整域、M、NをR-加群とするとき、次が成立する：

$\mathrm {Tor} _{R}(M,N)\approx \mathrm {Tor} _{R}(N,M)$ 。^[5]
$\mathrm {Tor} _{R}(\oplus _{\lambda \in \Lambda }M_{\lambda },N)\approx \oplus _{\lambda \in \Lambda }\mathrm {Tor} _{R}(M_{\lambda },N)$ 。ここで「 $\oplus$ 」はR-加群としての直和を表す^[6]。
Mが自由R-加群なら $\mathrm {Tor} _{R}(M,N)=0$
$\mathrm {Tor} _{R}(R/(x),N)\approx \{u\in N\mid xu=0\}$ 。^[7]
$\mathrm {Tor} _{R}(R/(x),R/(y))\approx R/(\mathrm {gcd} (x,y))$ 、ここでgcd(x,y)はxとyの最大公約元である。
Kを標数0の体とするとき、任意の有限生成R-加群Mに対し、 $\mathrm {Tor} _{R}(M,K)=0$

証明

1., 2.の証明は出典を参照。3.に関してはMが自由R-加群であれば、

0\to 0{\overset {\iota }{\to }}M{\overset {p}{\to }}M\to 0

という分解が可能なので、 $\mathrm {Tor} _{R}(M,N)=\mathrm {Ker} (\iota \otimes _{R}1_{N})=0$ である。

4.に関してはx倍する演算を「 $x\cdot$ 」と書くと、

0\to R{\overset {x\cdot }{\to }}R{\overset {p}{\to }}R/(x)\to 0

という分解が可能であり、 $R\oplus _{R}N\approx N$ なので、

N{\overset {x\cdot \otimes _{R}1_{N}}{\to }}N{\overset {p\otimes 1_{N}}{\to }}R/(x)\otimes _{R}N\to 0

である。よって $\mathrm {Tor} _{R}(M,N)=\mathrm {Ker} (x\cdot \otimes _{R}1_{N})=\{u\in N\mid xu=0\}$ である。

5.に関しては4.から直接従う。6.に関しては、Mが有限生成なので、有限生成加群の基本定理より、RⁿとR/(x_i)の直和で書ける。よって1.により、 $\mathrm {Tor} _{R}(M,N)$ は $\mathrm {Tor} _{R}(R^{n},N)$ と $\mathrm {Tor} _{R}(R/(x_{i}),N)$ の直和で書けるが、前者は3.より0に等しく、後者も4.により0に等しい。

Rが単項イデアル整域であるので、M、Nが有限生成である場合、有限生成加群の基本定理から、MはRⁿと複数のR/(x_i)の直和で書け、Nも同様である。上述の1., 2.からTor_Rは直和に関して分解できるので、上述の3., 5.を使うと、これらに対するTor_Rを容易に計算できる。

Ext関手

詳細は「Ext関手」を参照

Torのときと同様、Rを単項イデアル整域とし、M、NをR-加群とし、さらに短完全系列

0\longrightarrow A{\overset {\iota }{\longrightarrow }}B{\overset {p}{\longrightarrow }}M\to 0

でA、Bが自由R-加群であるものを選ぶ^{[注 1]}。そして

0\longrightarrow \mathrm {Hom} _{R}(M,N){\overset {p^{*}}{\longrightarrow }}\mathrm {Hom} _{R}(B,N){\overset {\iota ^{*}}{\longrightarrow }}\mathrm {Hom} _{R}(A)\to 0

を考えると必ずしも完全系列にはならない^{[注 3]}。そこで

\mathrm {Ext} _{R}(M,N):=\mathrm {Coker} _{R}(\iota ^{*})

と定義する^[9]。ここでCokerは余核である。すなわち、 $f~:~X\to Y$ に対し、 $\mathrm {Coker} (f)=Y/\mathrm {Im} (f)$ である。

$\mathrm {Ext} _{R}(M,N)$ の定義はA、Bの取り方に依存しているが、実はA、Bを別のものに取り替えて定義した $\mathrm {Ext} _{R}(M,N)$ と自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである^[9]。

$\mathrm {Ext} _{R}(\cdot ,\cdot )$ の事をExt関手という。

また $\mathrm {Ext} _{R}(M,N)$ に関しても $\mathrm {Tor} _{R}(M,N)$ と同様、Rが一般の環の場合に対しても定義できるし、 $\mathrm {Ext} _{R}^{n}(M,N)$ が定義できて $\mathrm {Ext} _{R}(M,N)=\mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,N)$ であるが、本項では説明を割愛する。詳細はExt関手の項目を参照されたい。

Ext関手は以下を満たす：

命題 ― Rを単項イデアル整域、M、NをR-加群とするとき、次が成立する：

$\mathrm {Ext} (\oplus _{\lambda \in \Lambda }M_{\lambda },N)=\oplus _{\lambda \in \Lambda }\mathrm {Ext} (M_{\lambda },N)$ 。ここで「 $\oplus$ 」はR-加群としての直和である^[10]。
$\mathrm {Ext} (M,\textstyle \prod _{\lambda \in \Lambda }N_{\lambda })=\textstyle \prod _{\lambda \in \Lambda }\mathrm {Ext} (M,N_{\lambda })$ 。ここで「 $\textstyle \prod$ 」はR-加群としての直積である^[10]。
Mが自由R-加群なら $\mathrm {Ext} (M,N)=0$
$\mathrm {Ext} _{R}(R/(x),N)\approx N/(x)$ 。^[7]
$\mathrm {Ext} _{R}(R/(x),R/(y))\approx R/(\mathrm {gcd} (x,y))$ 、ここでgcd(x,y)はxとyの最大公約元である。
Kを標数0の体とするとき、任意の有限生成R-加群Mに対し、 $\mathrm {Ext} _{R}(M,K)=0$

証明

1.、2.に関しては出典を参照。3.に関してはMが自由R-加群であれば、

0\to 0{\overset {\iota }{\to }}M{\overset {p}{\to }}M\to 0

という分解が可能なので、 $\mathrm {Ext} (M,N)=\mathrm {Coker} (\iota ^{*})=0$ である。

4.に関しては、x倍する演算を「 $x\cdot$ 」と書くと、

0\to R{\overset {x\cdot }{\to }}R{\overset {p}{\to }}R/(x)\to 0

という分解が可能であり、

0\to \mathrm {Hom} (R/(x),N){\overset {p^{*}}{\to }}\mathrm {Hom} (R,N){\overset {(x\cdot )^{*}}{\to }}\mathrm {Hom} (R,N)

である。ここで $\varphi \in \mathrm {Hom} (R,N)$ に対し、 $(x\cdot )^{*}(\varphi )(u)=\varphi (xu)=x\varphi (u)$ である。しかも $\varphi \in \mathrm {Hom} (R,N)$ は $1\in R$ の行き先により全ての $u\in R$ の行き先が決まるので、 $\mathrm {Hom} (R,N){\overset {\sim }{\to }}N,\varphi \mapsto \varphi (1)$ である。よって $\mathrm {Ext} _{R}(R/(x),N)$ $=\mathrm {Coker} ((x\cdot )^{*})$ $\approx N/(x)$ である。

5.は4.から直接従う。6.に関しては、Mが有限生成なので、有限生成加群の基本定理より、RⁿとR/(x_i)の直和で書ける。よって1.により、 $\mathrm {Ext} _{R}(M,K)$ は $\mathrm {Ext} _{R}(R^{n},K)$ と $\mathrm {Ext} _{R}(R/(x_{i}),K)$ の直和で書けるが、前者は3.より0に等しく、後者も4.により0に等しい。

Tor_Rの場合と同様、Mが有限生成R-加群であれば、これらの性質からExt_Rを具体的に計算できる。

Torに関する普遍係数定理

ホモロジーの場合

次の定理が成立することが知られている：

定理 (Torに関する普遍係数定理) ― Rを単項イデアル整域とし、MをR-加群とし、さらに $C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ をR上のチェイン複体で、各nに対し $C_{n}$ がR-加群として自由なものとする。このとき

0\to H_{n}(C_{*})\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H_{n}(C_{*}\otimes M){\overset {\beta }{\to }}\operatorname {Tor} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),M)\to 0

が短完全系列となるα、βが存在する^[11]。

しかもこの短完全系列は $C_{*}$ およびMに関して自然である。さらにこの短完全系列は（自然ではなく）分裂する^[11]。

上記の定理でαは $[c]\otimes _{R}m\in H_{n}(C_{*})\otimes _{R}M\mapsto [c\otimes _{R}m]\in H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)$ と具体的に書ける^[11]。

なお、係数環 Rが $\mathbb {Z}$ でMが $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ の場合は、上記の定理はボックシュタイン・スペクトル系列（英語版）の特別な場合に相当する。

$R=\mathbb {Z}$ で各 $H_{n}(C_{*})$ が有限生成加群である場合はホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、 $H_{n}(C_{*})$ は自由加群部分F_nと素数pに対する $T_{n,p}=\{x\in H_{n}(C_{*})\mid \exists m>0~:~p^{m}x=0\}$ の和で書ける。（有限個の素数pを除いて $T_{n,p}=0$ である）。ここで前述したTorの性質を利用すると、以下がわかる：

命題 ― 上記の設定のもと：

H_{n}(C_{*}\otimes M)\approx H_{n}(C_{*})\otimes M\oplus \operatorname {Tor} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),M)\approx {\begin{cases}\mathbb {Z} _{p}{}^{\mathrm {rank} (F_{n})+\mathrm {rank} (T_{n-1,p}\otimes \mathbb {Z} _{p})}&{\text{if }}M=\mathbb {Z} _{p}\\M^{\mathrm {rank} (F_{n})}&{\text{if }}M=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} \end{cases}}

コホモロジーの場合

チェイン複体とコチェイン複体は添字の向きが違うだけなので、コチェイン複体に関しても同様の事実が従う：

定理 ― R、Mを上述の定理と同様に取り、 $C^{*}$ を任意のコチェイン複体とすると、

0\to H^{n}(C^{*})\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H^{n}(C^{*}\otimes _{R}M){\overset {\beta }{\to }}\operatorname {Tor} _{R}(H^{n+1}(C^{*}),M)\to 0

が短完全系列となるα、βが存在する^[12]。

この短完全系列が $C^{*}$ 、Mに関して自然である事や分裂する事も前述の定理と同様である。

また $R=\mathbb {Z}$ で各 $H^{n}(C_{*})$ が有限生成加群である場合は、ホモロジー場合と同様の形で具体的に書ける。

M係数のホモロジー・コホモロジーに対する普遍係数定理

上述のコチェイン複体関する普遍係数定理をMを係数に持つコホモロジー（例えばMを係数にもつ特異コホモロジー）に適用する場合は注意が必要である。

定義

これまで同様Rが単項イデアル整域とし、MをR-加群する。R上のチェイン複体 $C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ に対し、

\partial _{n}{}^{*}~:~\mathrm {Hom} _{R}(C_{n},M)\to \mathrm {Hom} _{R}(C_{n+1},M),~~c\mapsto c\circ \partial _{n+1}

と定義すると

\partial _{n+1}{}^{*}\circ \partial _{n}{}^{*}=0

であるので $\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M):=(\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M),\partial _{n}{}^{*})_{n\in \mathbb {Z} }$ はコチェイン複体である。 $\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M)$ をMに関する $C_{*}$ の双対コチェイン複体（英: dual cochain complex）という^[12]。

定義 ― 　

$H_{n}(C_{*};M):=H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)$ を $C_{*}$ のn次のMに係数を持つホモロジー加群という^[13]。
$H^{n}(C_{*};M):=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},M))$ を $C_{*}$ のn次のMに係数を持つコホモロジー加群という^[13]。

ホモロジーの場合

Mに係数を持つホモロジー加群の方はその定義により、

H_{n}(C_{*};M)=H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)

H_{n}(C_{*};R)=H_{n}(C_{*}\otimes _{R}R)=H_{n}(C_{*})

なので、前述のホモロジーに関する普遍係数定理の $H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)$ 、 $H_{n}(C_{*})$ を単純に置き換える事で、以下の系が従う：

系 ― R、Mを前述の定理と同様に取り、 $C_{*}$ を任意のチェイン複体とすると、

0\to H_{n}(C_{*};R)\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H_{n}(C_{*};M){\overset {\beta }{\to }}\operatorname {Tor} _{R}(H_{n-1}(C_{*};R),M)\to 0

が短完全系列となるα、βが存在する。

コホモロジーの場合

一方、Mを係数を持つコホモロジー加群の場合は若干の注意が必要である。実際、 $C^{*}:=\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},R)$ としてやると、

H^{n}(C_{*};R)=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},R))=H^{n}(C^{*})

であるが、 $H^{n}(C_{*};M)$ の方は

H^{n}(C^{*};M)=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},M))

であり、コホモロジーの普遍係数定理における

H^{n}(C^{*}\otimes _{R}M)=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},R)\otimes _{R}M)

とは異なるので単純に置き換える事ができない。しかし適切な条件下ではこれら２つが等しくなり、Mを係数に持つコホモロジー加群の普遍係数定理を示す事ができる：

定理 ― R、Mを前述の定理と同様に取り、さらに $C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ をR上のチェイン複体で各nに対し、 $C_{n}$ がR-加群として自由なものとする。

このときMがR上有限生成であるかもしくは全てのnに対して $H_{n}(C_{*};R)$ がR上有限生成であれば、任意のnに対して以下が完全系列になるα、βが存在する^[14]:

0\to H^{n}(C_{*};R)\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H^{n}(C_{*};M){\overset {\beta }{\to }}\mathrm {Tor} _{R}(H^{n+1}(C_{*};R),M)\to 0

Extに関する普遍係数定理

Ext関手を使う事で、ホモロジーとコホモロジーの関係性を示す以下の普遍係数定理を示す事ができる。

前に述べたように、チェイン複体 $C_{*}$ の双対コチェイン複体 $\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M):=(\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M),\partial _{n}{}^{*})_{n\in \mathbb {Z} }$ に対し、Mを係数に持つコホモロジー加群を $H^{n}(C_{*};M)=H^{n}(\mathrm {Hom} _{R}(C_{*};M))$ により定義する。

このとき以下の定理がしたがう：

定理 (Extに関する普遍係数定理) ― Rを単項イデアル整域とし、MをR-加群とし、さらに $C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ をR上のチェイン複体で各nに対し、 $C_{n}$ がR-加群として自由なものする。このとき、

0\to \operatorname {Ext} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),M){\overset {\beta }{\to }}H^{n}(C_{*};M){\overset {\alpha }{\to }}\operatorname {Hom} _{R}(H_{n}(C_{*}),M)\to 0

が短完全系列となるα、βが存在する。

しかもこの短完全系列は $C_{*}$ およびMに関して自然である。さらにこの短完全系列は（Mに関して自然だが $C_{*}$ に関しては自然ではなく）分裂する^[15]。

上述の定理においてαは $[\varphi ]\in H^{n}(C_{*};M)=H^{n}({\textrm {Hom}}_{R}(C_{*},M))$ に対し、 $[c]\in H^{n}(C_{*})\mapsto \varphi (c)\in M$ という $\operatorname {Hom} _{R}(H_{n}(C_{*}),M)$ の元を対応させる写像である^[15]。

$R=\mathbb {Z}$ で各 $H_{n}(C_{*})$ が有限生成加群である場合はコホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、 $H_{n}(C_{*})$ は自由加群部分F_nと捩れ部分群部分 $T_{n}$ の和で書ける。この事実とExtの性質を利用すると、以下がわかる：

命題 ― 上記の設定のもと以下が成立する^[16]：

H^{n}(C_{*};\mathbb {Z} )\approx \mathrm {Hom} (H_{n}(C_{*});\mathbb {Z} )\oplus \operatorname {Ext} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),\mathbb {Z} )\approx F_{n}\oplus T_{n-1}

上記により $\mathbb {Z}$ -係数コホモロジーさえ分かってしまえば、後はTorに関する普遍係数定理により他の係数のコホモロジーも求まる。

$H_{n}(C_{*})$ が有限生成であれば、上述の普遍係数定理でホモロジーとコホモロジーの役割を反転させた定理も成立する：

定理 ― Rを単項イデアル整域とし、MをR-加群とし、さらに $C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ をR上のチェイン複体で各nに対し、 $C_{n}$ がR-加群として自由で、しかも $H_{n}(C_{*})$ が有限生成R-加群であるものとする。このとき、

0\to \operatorname {Ext} _{R}(H^{n+1}(C_{*}),M){\overset {\beta }{\to }}H_{n}(C_{*};M){\overset {\alpha }{\to }}\operatorname {Hom} _{R}(H^{n}(C_{*}),M)\to 0

が短完全系列となるα、βが存在し、この短完全系列は分裂する^[17]。

上述の定理において、αは $[z]\otimes m\in H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)=H_{n}(C_{*};M)$ に対し、 $[f]\in H^{n}(C_{*})\mapsto f(z)m\in M$ という $\mathrm {Hom} (H^{n}(C_{*}),M)$ の元を対応させる写像である^[17]。

脚注

出典

^ ^a ^b #河田 pp.55-56.
^ ^a ^b #河田 p.69.
^ #河田 p.33.
^ ^a ^b #Dieck p.292.
^ #河田 p.114.
^ 河田 p.109.
^ ^a ^b #Davis p.26.
^ #河田 p.28.
^ ^a ^b #Dieck p.294.
^ ^a ^b #河田 p.118.
^ ^a ^b ^c #Dieck p.295.
^ ^a ^b #Dieck p.297.
^ ^a ^b #河田 p.80.
^ #Dieck p.297.
^ ^a ^b #Dieck p.296.
^ #Davis p.46.
^ ^a ^b #Davis p.48.

注釈

^ ^a ^b 具体的にはMのR上の生成元 $(e_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ を選び、 $A:=R^{\Lambda }=\{(a_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\mid a_{\lambda }\in R,$ 有限個の $\lambda$ を除いて $a_{\lambda }=0\}$ とし、 $A\to R$ を $(a_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\to \sum _{\lambda \in \Lambda }a_{\lambda }e_{\lambda }$ とし、Bをこの写像のカーネルとすればよい。定義から明らかにAはR上自由である。またRは単項イデアル整域なので、自由加群Aの部分加群であるBも自由である。
^ 最初の0を除いた $A\otimes _{R}N{\overset {\iota \otimes _{R}1_{N}}{\longrightarrow }}B\otimes _{R}N{\overset {p\otimes _{R}1_{N}}{\longrightarrow }}M\otimes _{R}N\longrightarrow 0$ は完全系列である^[3]。
^ 最後の0を除いた $0\longrightarrow \mathrm {Hom} _{R}(M,N){\overset {p^{*}}{\longrightarrow }}\mathrm {Hom} _{R}(B,N){\overset {\iota ^{*}}{\longrightarrow }}\mathrm {Hom} _{R}(A)$ は完全系列である。^[8]

参考文献

引用文献
- Tammo tom Dieck (2008/9/15). Algebraic Topology. Ems Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society. ISBN 978-3037190487
- 河田敬義『ホモロジー代数』岩波書店〈岩波基礎数学選書〉、1990年11月8日。ISBN 978-4000078047。
- James F. Davis, Paul Kirk (2001/8/1). Lecture Notes in Algebraic Topology. Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society. ISBN 978-0821821602

その他

- Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79540-0. A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the author's homepage.
- Kainen, P. C. (1971). “Weak Adjoint Functors”. Mathematische Zeitschrift 122: 1–9. doi:10.1007/bf01113560.
- 志甫, 淳『層とホモロジー代数』共立出版株式会社〈共立講座数学の魅力5〉、2016年。ISBN 978-4-320-11160-8。