ディラック共役

ディラック共役（ディラックきょうやく, 英: Dirac adjoint）とは、場の量子論においてディラック・スピノールに対して定められる双対操作である。ディラック共役は、スピノールを組み合わせて作った量がよい振る舞いを示すよう、上手く形式化するために作られた。普通のエルミート共役は系のローレンツ対称性を欠くため、代わりにディラック共役が用いられる。

定義

ディラック・スピノール ψ のディラック共役 ψ は、次のように定義される:

{\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}

ここで ψ^† は ψ のエルミート共役、γ⁰ はガンマ行列。

ローレンツ変換の下でのスピノール

特殊相対論のローレンツ群はコンパクトではない。そのためディラック・スピノール空間におけるローレンツ変換の表現（英語版）はユニタリーではない。これは一般に

\lambda ^{\dagger }\neq \lambda ^{-1}

として表される。ここで λ は、次のようにスピノールに対して作用するローレンツ変換である:

\psi \to \psi '=\lambda \psi

この時スピノール ψ のエルミート共役 ψ^† は、次のように変換される:

\psi ^{\dagger }\to \psi '^{\dagger }=\psi ^{\dagger }\lambda ^{\dagger }

そのため、通常のエルミート共役を用いた ψ^†ψ はローレンツ・スカラー（英語版）とならない。また ψ^†γ^μψ も自己共役にならない。

ここでディラック共役の定義を用いると、ψ は次のように変換されることが分かる:

{\bar {\psi }}\to {\bar {\psi }}'=\psi '^{\dagger }\gamma ^{0}=\left(\lambda \psi \right)^{\dagger }\gamma ^{0}=\psi ^{\dagger }\lambda ^{\dagger }\gamma ^{0}

ここでガンマ行列の公式 1 = γ⁰γ⁰ とローレンツ代数の公式 γ⁰λ^†γ⁰ = λ⁻¹ を用いると、ディラック共役の次のような変換性が得られる:

{\bar {\psi }}\to {\bar {\psi }}'={\bar {\psi }}\lambda ^{-1}

この結果、ディラック共役 ψ を用いた ψψ は

{\bar {\psi }}\psi \to {\bar {\psi }}'\psi '={\bar {\psi }}\lambda ^{-1}\lambda \psi ={\bar {\psi }}\psi

とローレンツ・スカラーの変換性を満足する。また ψγ^μψ も自己共役となる:

\left({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)^{\dagger }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi

利用法

ディラック共役を用いて、スピン1/2の粒子場に関する4元確率の流れ J を次のように表すことが出来る:

J^{\mu }=c{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi

ここで c は光速、J の成分は密度 ρ と3元確率の流れ j を表す:

{\boldsymbol {J}}=(c\rho ,{\boldsymbol {j}})

μ = 0 と取り、再びガンマ行列の公式 1 = γ⁰γ⁰ を用いると、確率密度は次のようになる:

\rho =\psi ^{\dagger }\psi

参考文献

B. Bransden; C. Joachain (2000). Quantum Mechanics (2nd ed.). Pearson. ISBN 0-582-35691-1
M. Peskin; D. Schroeder (1995). “Chapter.3 The Dirac Field”. An Introduction to Quantum Field Theory (2nd ed.). Westview Press. ISBN 0-201-50397-2
A. Zee (1995). “Dirac bilinears”. Quantum Field Theory in a Nutshell (2nd ed.). Princeton University Press. p. 97. ISBN 0-691-01019-6