In matematica, e più specificamente in algebra lineare, il determinante di una matrice antisimmetrica può sempre essere scritto come il quadrato di un polinomio costruito a partire dagli elementi della matrice. Questo polinomio è chiamato lo Pfaffiano della matrice.
Lo Pfaffiano è nullo per le matrici antisimmetriche di ordine dispari, mentre per le matrici di ordine pari, cioè del tipo
, è un polinomio di grado
.
Il termine Pfaffiano è stato introdotto da Arthur Cayley, che lo usò nel 1852:The permutants of this class (from their connection with the researches of Pfaff on differential equations) I shall term "Pfaffians". Il termine onora dunque la memoria del matematico tedesco Johann Friedrich Pfaff.
Definizione
Sia
l'insieme delle partizioni in coppie non ordinate di
. Queste sono (usando la notazione del semifattoriale) esattamente
. Una partizione può essere scritta come:
![{\displaystyle \alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cdb4ae94e0b2ab8adcf8d94a68e9a75b7123109)
con
e
. Associando ad
la permutazione:
![{\displaystyle \pi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n\\i_{1}&j_{1}&i_{2}&j_{2}&\cdots &j_{n}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5255be95b394e1d1106f028255490cfcfea8f4df)
sia
il suo segno. Sia inoltre
una matrice antisimmetrica
. Data una partizione
, si definisce il valore:
![{\displaystyle A_{\alpha }=\operatorname {sgn} (\alpha )a_{i_{1},j_{1}}a_{i_{2},j_{2}}\cdots a_{i_{n},j_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2dc521adc8d5e8ad608530aa7a4ce0b3600e0be)
Si può definire lo Pfaffiano di
come:
![{\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=\sum _{\alpha \in \Pi }A_{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b941b6dec7ef82bc4c6f0c70db46a21d72df1d2)
Lo Pfaffiano di una matrice antisimmetrica
, con
dispari, è per definizione nullo.
Definizione ricorsiva
Per convenzione lo Pfaffiano della matrice
è
. Lo Pfaffiano di una matrice
antisimmetrica
con
può essere calcolato ricorsivamente come
![{\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=\sum _{i=2}^{2n}(-1)^{i}a_{1i}\operatorname {Pf} (A_{{\hat {1}}{\hat {i}}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8bd3721a1860b1b3ce3234df6749f5215cfc696)
dove
indica la matrice
a cui sono state rimosse le righe e le colonne
ed
.
Definizione alternativa
È possibile associare ad ogni matrice antisimmetrica
di dimensione
un bivettore:
![{\displaystyle \omega =\sum _{i<j}a_{ij}\;e_{i}\wedge e_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09130a1b314a1a818fae53b8fd7ae7245e28ac5e)
dove
è la base usuale di
. Lo Pfaffiano è quindi definito come l'equazione:
![{\displaystyle {\frac {1}{n!}}\omega ^{n}={\mbox{Pf}}(A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{2n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0351d178d72281863a5aa1734d2d45552460e4b)
dove
rappresenta il prodotto vettoriale di
con sé stesso n volte.
Identità
Per una matrice antisimmetrica
di dimensione
ed una generica matrice
anch'essa di dimensione
, si ha:
![{\displaystyle {\mbox{Pf}}(A)^{2}=\det(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac14f4f03baf8d45c754dda6b791580bba352b5)
![{\displaystyle {\mbox{Pf}}(BAB^{T})=\det(B){\mbox{Pf}}(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c776dd5c6dbc7e9e9dcb312275a822f693bfe7)
![{\displaystyle {\mbox{Pf}}(\lambda A)=\lambda ^{n}{\mbox{Pf}}(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e86c3b719c8211ee11e3a6e5c224d1a14fcd74c3)
![{\displaystyle {\mbox{Pf}}(A^{T})=(-1)^{n}{\mbox{Pf}}(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ad6f808c23b583847b62bb6f8da0b7dcba8abb)
Per una matrice diagonale a blocchi del tipo:
![{\displaystyle A_{1}\oplus A_{2}={\begin{bmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d17bb080fd8a12b4c6aed881d2f64874d5eae6fc)
Si ha:
![{\displaystyle {\mbox{Pf}}(A_{1}\oplus A_{2})={\mbox{Pf}}(A_{1}){\mbox{Pf}}(A_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab9b34d35d22d79d12794f3fbd6b9ee7415d991)
Per una matrice arbitraria
denotata con
:
![{\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&M\\-M^{T}&0\end{bmatrix}}=(-1)^{n(n-1)/2}\det M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee9a6f715db8d0b5ee0e2925f0c1051afa7915d6)
Se
dipende da qualche variabile
allora il gradiente dello Pfaffiano è dato da:
![{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {pf} (A)}}{\frac {\partial \operatorname {pf} (A)}{\partial x_{i}}}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33940cbd9da90a2741ed255084581cadb0d3a5dd)
mentre l'hessiana di uno Pfaffiano è data da:
![{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {pf} (A)}}{\frac {\partial ^{2}\operatorname {pf} (A)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{j}}}\right)+{\frac {1}{4}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}\right)\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{j}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e22b1eddb5fed0b45a2468b93f57e2a964e52d31)
Applicazioni
Lo Pfaffiano è un polinomio invariante per congruenza delle matrici antisimmetriche (se rappresenta una applicazione lineare, non è invariante rispetto ad un generale cambio di base ma lo è per una trasformazione ortogonale). Come tale, svolge un ruolo importante nella teoria delle classi caratteristiche. In particolare, può essere usato per definire la classe di Eulero di una superficie di Riemann, usata nel Teorema generalizzato di Gauss-Bonet
Esempi
![{\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cfe36d8229ca006988cbc48269a47af974683f4)
![{\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a039cb225bf8bc321ba6b2ad47da08bf5716997e)
![{\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{n}\\-\lambda _{n}&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9bdb89a78c1a25557be3683d970752dc6373006)
Bibliografia
- (EN) David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, revised, 1997, p. 182, ISBN 0-14-026149-4.
- (EN) Thomas Muir, A Treatise on the Theory of Determinants, Macmillan and Co., 1882. Online
Voci correlate
- Determinante
- Matrice antisimmetrica
- Polinomio
Collegamenti esterni
- (EN) Pfaffian, in PlanetMath.
- (EN) T. Jones, The Pfaffian and the Wedge Product (a demonstration of the proof of the Pfaffian/determinant relationship)
- (EN) R. Kenyon and A. Okounkov, What is ... a dimer?
- (EN) W. Ledermann, "A note on skew-symmetric determinants" (online)
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