Determinante di Fredholm

In matematica, il determinante di Fredholm è una funzione a valori complessi che generalizza la nozione di determinante di una matrice. Definito per operatori limitati su uno spazio di Hilbert, deve il nome a Erik Ivar Fredholm.

Sia ${\displaystyle H}$ uno spazio di Hilbert e ${\displaystyle G}$ l'insieme degli operatori limitati invertibili definiti su ${\displaystyle H}$ che hanno la forma ${\displaystyle I+T}$, dove ${\displaystyle I}$ è l'identità e ${\displaystyle T}$ un operatore di classe traccia (dunque un operatore compatto). L'insieme ${\displaystyle G}$ è un gruppo in quanto:

${\displaystyle (I+T)^{-1}-I=-T(I+T)^{-1}}$

e si può definire in modo naturale una metrica data da:

${\displaystyle d(X,Y)=\|X-Y\|_{1}}$

dove ${\displaystyle \|A\|_{1}={\rm {Tr}}|A|}$. Se ${\displaystyle H}$ ha come prodotto interno ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$, allora la potenza esterna k-esima ${\displaystyle \Lambda ^{k}H}$ è a sua volta uno spazio di Hilbert con prodotto interno:

${\displaystyle (v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge w_{2}\wedge \cdots \wedge w_{k})={\rm {det}}\,(v_{i},w_{j})}$

In particolare:

${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\qquad (i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k})}$

fornisce una base ortonormale di ${\displaystyle \Lambda ^{k}H}$ se ${\displaystyle (e_{i})}$ è una base ortonormale di ${\displaystyle H}$.

Se ${\displaystyle A}$ è un operatore limitato su ${\displaystyle H}$, allora ${\displaystyle A}$ definisce funzionalmente un operatore limitato ${\displaystyle \Lambda ^{k}(A)}$ su ${\displaystyle \Lambda ^{k}H}$:

${\displaystyle \Lambda ^{k}(A)v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k}=Av_{1}\wedge Av_{2}\wedge \cdots \wedge Av_{k}}$

Se ${\displaystyle A}$ è di classe traccia, allora lo è anche ${\displaystyle \Lambda ^{k}(A)}$ con:

${\displaystyle \|\Lambda ^{k}(A)\|_{1}\leq \|A\|_{1}^{k}/k!}$

In questo modo ha senso la definizione di determinante di Fredholm:

${\displaystyle {\rm {det}}\,(I+A)=\sum _{k=0}^{\infty }{\rm {Tr}}\Lambda ^{k}(A)}$

• Se ${\displaystyle A}$ è di classe traccia:

${\displaystyle {\rm {det}}\,(I+zA)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}{\rm {Tr}}\Lambda ^{k}(A)}$

definisce una funzione intera tale che:

${\displaystyle |{\rm {det}}\,(I+zA)|\leq \exp(|z|\cdot \|A\|_{1})}$

• La funzione ${\displaystyle \det(I+A)}$ è continua sullo spazio degli operatori di classe traccia, con:

${\displaystyle |{\rm {det}}(I+A)-{\rm {det}}(I+B)|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\|A\|_{1}+\|B\|_{1}+1)}$

Tale disuguaglianza può essere migliorata scrivendola nella forma:

${\displaystyle |{\rm {det}}(I+A)-{\rm {det}}(I+B)|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\max(\|A\|_{1},\|B\|_{1})+1)}$

• Se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono di classe traccia:

${\displaystyle {\rm {det}}(I+A)\cdot {\rm {det}}(I+B)={\rm {det}}(I+A)(I+B)}$

• La funzione determinante definisce un omomorfismo tra ${\displaystyle G}$ e il gruppo moltiplicativo ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ dei numeri complessi non nulli.

• Se ${\displaystyle T\in G}$ e ${\displaystyle X}$ è invertibile:

${\displaystyle {\rm {det}}\,XTX^{-1}={\rm {det}}\,T}$

• Se ${\displaystyle A}$ è di classe traccia:

${\displaystyle {\rm {det}}\,e^{A}=\exp \,{\rm {Tr}}(A)}$

${\displaystyle \log {\rm {det}}\,(I+zA)={\rm {Tr}}(\log {(I+zA)})=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {{\rm {Tr}}A^{k}}{k}}z^{k}}$

Una funzione ${\displaystyle F(t):(a,b)\to G}$ è differenziabile se ${\displaystyle F(t)-I}$ è differenziabile come funzione che mappa nello spazio vettoriale degli operatori di classe traccia, ovvero se esiste il limite:

${\displaystyle {\dot {F}}(t)=\lim _{h\rightarrow 0}{F(t+h)-F(t) \over h}}$

nella norma ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$. Se ${\displaystyle g(t)}$ è una funzione differenziabile che mappa nello spazio degli operatori di classe traccia, allora lo è anche ${\displaystyle \exp(g(t))}$ e si ha:

${\displaystyle F^{-1}{\dot {F}}={{\rm {id}}-\exp -{\rm {ad}}g(t) \over {\rm {ad}}g(t)}\cdot {\dot {g}}(t)}$

dove:

${\displaystyle {\rm {ad}}(X)\cdot Y=XY-YX}$

Israel Gohberg e Mark Krein provarono che se ${\displaystyle F}$ è differenziabile a valori in ${\displaystyle G}$ allora ${\displaystyle f=\det(F)}$ è una funzione differenziabile a valori in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ con:

${\displaystyle f^{-1}{\dot {f}}={\rm {Tr}}F^{-1}{\dot {F}}}$

Questo risultato fu utilizzato da Joel Pincus, William Helton e Roger Howe per mostrare che se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono operatori limitati con commutatore ${\displaystyle AB-BA}$ di classe traccia allora:

${\displaystyle {\rm {det}}\,e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp {\rm {Tr}}(AB-BA)}$

• Barry Simon, Trace Ideals and Their Applications, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 120, American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3581-5.
• John A. Wheeler, On the Mathematical Description of Light Nuclei by the Method of Resonating Group Structure, Physical Review, vol. 52, 1937, p. 1107.
• Folkmar Bornemann, On the numerical evaluation of Fredholm determinants, in Math. Comp., vol. 79, Springer, 2010, pp. 871–915.

• Classe traccia
• Forma sesquilineare
• Nucleo di Fredholm
• Operatore compatto
• Operatore di Fredholm
• Operatore limitato
• Teoria di Fredholm

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