Pasch-axióma

A Pasch-axióma a geometria axiomatikus felépítésében az egyik rendezési axióma, amely kimondja, hogy ha a sík egy ${\displaystyle ABC}$ háromszögének egyik csúcspontját sem metszi egy ${\displaystyle a}$ egyenes és metszi valamelyik oldalát a háromszögnek, akkor metszi a két másik oldal közül is pontosan az egyiket.^[1]

Története

Ezt az axiómát Moritz Pasch vizsgálta először részletesen Vorlesungen über neuere Geometrie című munkájában, amely 1882-ben jelent meg. Ebben kimutatta, hogy Euklidész ezt a tulajdonságot anélkül használja fel Elemek című munkájában, hogy explicit axiómaként kimondaná. Ezeket az eredményeket felhasználva vette fel Hilbert ezt az axiómát saját axiómarendszerébe.^[2]

Kapcsolódó szócikkek

• Pasch-tétel
• Hilbert-féle axiómarendszer

Hivatkozások

• Moritz Pasch: Vorlesungen über neuere Geometrie, B. G. Teubner, Leipzig, 1882
• David Hilbert: Grundlagen der Geometrie, B. G. Teubner, Leipzig, 2. kiadás, 1903
• Kurusa Árpád: Euklideszi geometria, SZTE Bolyai Intézet, Szeged, 2008

További információk

• A Pasch-axióma a MathWorld oldalán
• Moritz Pasch biográfiája

Jegyzetek

1. ↑ „Es seien A, B, C drei nicht in gerader Linie gelegene Punkte und a eine Gerade in der Ebene ABC, die keinen der Punkte A, B, C trifft: wenn dann die Gerade a durch einen Punkt der Strecke AB geht, so geht sie gewiß auch entweder durch einen Punkt der Strecke BC oder durch einen Punkt der Strecke AC.” - David Hilbert: Grundlagen der Geometrie
2. ↑ Lásd: Hilbert: Grundlagen der Geometrie 4. o.