Különbség (halmazelmélet)

A különbség a halmazelmélet egy kétváltozós művelete, ami két halmazból úgy képez egy új halmazt, hogy az így létrejövő halmaz az első halmaz elemei közül pontosan azokat tartalmazza, melyeket a második nem.

Definíció és jelölés

Ha $A$ és $B$ halmazok, akkor az $A$ és $B$ különbségének nevezzük és $A\setminus B$ (szóban: „á különbség bé”, vagy „á mínusz bé”) módon jelöljük az $A$ halmaz azon elemeinek összességét, melyek nem elemei $B$ -nek. Ezt szimbolikusan így írjuk: $A\setminus B=\{x\,|\,x\in A\wedge x\notin B\}.$

Példák

{1,2,3} \ {2,3,4} = {1}
{2,3,4} \ {1,2,3} = {4}
Ha a valós számok $\mathbb {R}$ halmazából kivonjuk a racionális számok $\mathbb {Q}$ halmazát, akkor eredményül megkapjuk az irracionális számok $\mathbb {Q} ^{*}$ halmazát, vagyis $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{*}$ .

Tulajdonságok

Ha az $U$ univerzumban (másként az alaphalmazban) $A$ , $B$ és $C$ halmazok, akkor igazak a következők:

Ha az $A\neq B$ , akkor a különbségképzés nem kommutatív: $A\setminus B\neq B\setminus A$ .
Ha $A\subseteq B\,\!$ , akkor $A\setminus B=\emptyset$ .
$A\setminus A=\emptyset$
$\emptyset \setminus A=\emptyset$
$A\setminus U=\emptyset \,\!$
$A\setminus \emptyset =A$
$U\setminus A=A^{c}\,\!$
$A\setminus B=A\cap B^{c}\,\!=(A^{c}\cup B)^{c}$ és $(A\setminus B)^{c}=A^{c}\cup B$