Brun–Titchmarsh-tétel

Az analitikus számelmélet területén a Viggo Brun és Edward Charles Titchmarsh matematikusokról elnevezett Brun–Titchmarsh-tétel vagy Brun–Titchmarsh-féle egyenlőtlenség felső korlátot ad a prímszámok számtani sorozatbeli eloszlására. Kimondja, hogy ha π ( x ; q , a ) {\displaystyle \pi (x;q,a)} a p prímszámokat számolja meg, melyek kongruensek a-val modulo q úgy, hogy p ≤ x, akkor

π ( x ; q , a ) ≤ 2 x φ ( q ) log ⁡ ( x / q ) {\displaystyle \pi (x;q,a)\leq {2x \over \varphi (q)\log(x/q)}}

minden q < x-re. A tételt a szitamódszer segítséggel Montgomery és Vaughan igazolta; Brun és Titchmarsh csak az egyenlőtlenség egy gyengébb változatát tudta bizonyítani, ahol még egy 1 + o ( 1 ) {\displaystyle 1+o(1)} szorzó tényező is szerepel.

Ha q viszonylag kicsi, pl. q ≤ x 9 / 20 {\displaystyle q\leq x^{9/20}} , létezik jobb felső korlát is:

π ( x ; q , a ) ≤ ( 2 + o ( 1 ) ) x φ ( q ) ln ⁡ ( x / q 3 / 8 ) {\displaystyle \pi (x;q,a)\leq {(2+o(1))x \over \varphi (q)\ln(x/q^{3/8})}}

Ezt Y. Motohashi (1973) határozta meg. A Selberg-szita hibatagjának általa felfedezett bilineáris struktúráját használta fel ehhez. Később az ötletét, hogy a szita hibájának struktúráját érdemes felhasználni, az analitikus számelmélet fontos módszerévé fejlesztették, H. Iwaniec kombinatorikus szitához való kiegészítésének köszönhetően.

Ezzel ellentétben, Dirichlet tétele aszimptotikus eredményt ad, ami így fejezhető ki:

π ( x ; q , a ) = x φ ( q ) log ⁡ ( x ) ( 1 + O ( 1 log ⁡ x ) ) {\displaystyle \pi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\log x}}\right)}\right)}

de ez csak korlátozottabban érvényesül: q < (log x)c konstans c-re: ez a Siegel–Walfisz-tétel.

Jegyzetek

  • Motohashi, Yoichi (1983), Sieve Methods and Prime Number Theory, Tata IFR and Springer-Verlag, ISBN 3-540-12281-8
  • Hooley, Christopher (1976), Applications of sieve methods to the theory of numbers, Cambridge University Press, p. 10, ISBN 0-521-20915-3
  • Mikawa, H. (2001), "b/b110970", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Montgomery, H.L. & Vaughan, R.C. (1973), "The large sieve", Mathematika 20: 119–134.