Sarja (matematiikka)

Matematiikassa sarja on äärettömän lukujonon termien yhteenlasku. ^[1] Sarjateoria on tärkeä analyysin osa-alue, ja se kehittyi differentiaali- ja integraalilaskennan rinnalla 1600-luvun lopulta lähtien.

Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon raja-arvona. Mikäli summa on olemassa, sarja on suppeneva.

Esimerkki

Voidaan päätellä, että ${\displaystyle 0{,}3+0{,}03+0{,}003+...=0{,}333...={\frac {1}{3}}.}$

Tämän sarjan osasummien jonolla

${\displaystyle (0{,}3;0{,}3+0{,}03;0{,}3+0{,}03+0{,}003;...)=(0{,}3;0{,}33;0{,}333;...)\!}$

on raja-arvo ${\displaystyle {\frac {1}{3}}.}$

Esimerkki

Otetaan esimerkiksi yhden metrin pituinen lanka. Puolitetaan se ja näin saaduista

identtisistä palasista puolitetaan taas toinen. Prosessia jatketaan äärettömiin.

Näin on todettu, että

${\displaystyle 1={1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+...}$

Sarjan ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...}$ osasummia ovat
${\displaystyle S_{1}=a_{1}}$
${\displaystyle S_{2}=a_{1}+a_{2}}$
${\displaystyle S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}}$
${\displaystyle ...}$
${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}}$
${\displaystyle ...}$

Jos osasummien jonolle on olemassa raja-arvo, sarjan summa on
${\displaystyle S=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}$

• Jos raja-arvo on olemassa eli jos sarjan summa voidaan määrittää, sarja suppenee.
• Jos raja-arvoa ei ole eikä sarjan summaa voida määrittää, sarja hajaantuu.

Sarja ${\displaystyle \sum _{}^{}x_{n}}$ on aritmeettinen, jos lukujono ${\displaystyle x_{n}}$ on muotoa ${\displaystyle (x_{1}+(n-1)d)}$ eli jos kahden peräkkäisen termin erotus on vakio ${\displaystyle d}$.

Sarja ${\displaystyle \sum _{}^{}x_{n}}$ on geometrinen, jos lukujono ${\displaystyle x_{n}}$ on muotoa ${\displaystyle (x_{1}q^{n-1})}$ eli jos kahden peräkkäisen termin suhde on vakio ${\displaystyle q}$.

1. Sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ hajaantuu, jos
   • ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }a_{k}\neq 0}$ tai
   • ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }a_{k}}$ ei ole olemassa.
2. Vuorotteleva sarja ${\displaystyle (-1)^{n}\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ eli sarja, jonka joka toinen termi on positiivinen, joka toinen negatiivinen, suppenee jos ja vain jos
   • ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }a_{k}=0}$
3. Aliharmoninen sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{p}}},0<p<1}$ hajaantuu.
4. Harmoninen sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}}$ hajaantuu.
5. Yliharmoninen sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{p}}},p>1}$ suppenee.
6. Geometrinen sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{1}q^{k-1}}$ suppenee, kun ${\displaystyle |q|<1}$ tai ${\displaystyle a_{1}=0}$.
   • Tällöin ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{1}q^{k-1}={\frac {a_{1}}{1-q}}.}$

Määritetään sarjan ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {9}{2^{k}}}}$ summa.

Osasumma ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {9}{2^{k}}}=9\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}}$
Summa on geometrinen summa; ${\displaystyle a_{1}=1,q={\frac {1}{2}}}$, termejä ${\displaystyle n+1}$.
${\displaystyle S_{n}=9\cdot {\frac {1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{2}}}}}$.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }9\cdot {\frac {1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{2}}}}=9\cdot {\frac {1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{\infty }}{\frac {1}{2}}}=9\cdot {\frac {1}{\frac {1}{2}}}=18}$

Monista funktioista voidaan muodostaa sarjamuotoinen esitystapa, sarjakehitelmä, jonka avulla funktion arvoja voidaan approksimoida käytännön laskentatehtävissä. Tällöin sarjakehitelmästä otetaan vain tietty määrä alkioita mukaan. Tällaisia sarjoja ovat esimerkiksi Taylorin ja Fourier'n sarja.

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).