Eisensteinin kokonaisluku

Matematiikassa Eisensteinin luvut ovat Gotthold Eisensteinin mukaan nimetyt kompleksiluvut, jotka ovat muotoa

${\displaystyle z=a+b\omega \,\!}$

missä a ja b ovat kokonaislukuja ja

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}}$

on ykkösen kuutiojuuri. Eisensteinin luvut muodostavat kompleksitasoon kolmiohilan toisin kuin Gaussin kokonaisluvut, jotka muodostavat neliöhilan.

Eisensteinin kokonaisluvut muostavat algebrallisen lukukunnan kommutatiivisen renkaan Q(ω). Eisensteinin kokonaisluvut ovat algebrallisia kokonaislukuja, sillä z = a + bω on pääpolynomin

${\displaystyle z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).\,\!}$

juuri. Erityisesti ω toteuttaa yhtälön

${\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0.\,\!}$

Eisensteinin kokonaisluvun normi on sen itseisarvon neliö, eli

${\displaystyle |a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!}$

Siten Eisensteinin kokonaisluvun normi on kokonaisluku. Koska

${\displaystyle 4a^{2}-4ab+4b^{2}=(2a-b)^{2}+3b^{2},\,\!}$

on nollasta poikkeavan Eisensteinin kokonaisluvun normi positiivinen.

Eisensteinin kokonaislukujen muodostaman renkaan yksikköryhmä on syklinen ja sen virittää ykkösen kuudesjuuri. Ryhmä on muotoa

{±1, ±ω, ±ω²}

Nämä ovat ne Eisensteinin kokonaisluvut, joiden normi on 1.