Matrize norma

Matrize norma bat, bektoreena bezala, ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \lVert \cdot \rVert } adierazten da eta hurrengo hiru propietateak betetzen ditu:

  1. ‖ A ‖ > 0 , ∀ A ≠ 0. {\displaystyle \lVert A\rVert >0,\forall A\neq 0.}
  2. ‖ c A ‖ = | c | ⋅ ‖ A ‖ , ∀ c ∈ R . {\displaystyle \lVert cA\rVert =\left\vert c\right\vert \cdot \lVert A\rVert ,\forall c\in {\displaystyle \mathbb {R} }.}
  3. ‖ A + B ‖ ≤ ‖ A ‖ + ‖ B ‖ . {\displaystyle \lVert A+B\rVert \leq \lVert A\rVert +\lVert B\rVert .}

A eta B K m × n {\displaystyle K^{m\times n}} -erako matrizeak izanik.

Gainera, matrizea karratua den kasuetan; hau da, m=n hurrengo propietatea betetzen dela esan dezakegu:

  • ‖ A B ‖ ≤ ‖ A ‖ ⋅ ‖ B ‖ . {\displaystyle \lVert AB\rVert \leq \lVert A\rVert \cdot \lVert B\rVert .}

Definizioa

Izan bitez A matrize bat eta ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \lVert \cdot \rVert } bektore-norma bat. ‖ A ‖ {\displaystyle \lVert A\rVert } eragindako matrize norma honela definitzen da:

‖ A ‖ = max x ≠ 0 ‖ A x ‖ x {\displaystyle \lVert A\rVert =\max \limits _{x\neq 0}{\frac {\lVert Ax\rVert }{x}}}

Jarraian bektoreen bat-, bi- eta infinitu-normek eragindako matrize normak adieraziko ditugu:

  • ‖ A ‖ 1 = max j ‖ A : , j ‖ 1 {\displaystyle \lVert A\rVert _{1}=\max \limits _{j}\lVert A_{:,j}\rVert _{1}} ( zutabe guztien bat-normetako maximoa)
  • ‖ A ‖ 2 = σ 1 ( A ) {\displaystyle \lVert A\rVert _{2}=\sigma _{1}(A)} ( balio singular handiena)
  • ‖ A ‖ ∞ = max i ‖ A i , : ‖ 1 {\displaystyle \lVert A\rVert _{\infty }=\max \limits _{i}\lVert A_{i,:}\rVert _{1}} ( lerro guztien bat-normetako maximoa)

A simetrikoa den kasuetan, ‖ A ‖ 2 = max 1 ≤ i ≤ n | λ i | {\displaystyle \lVert A\rVert _{2}=\max \limits _{1\leq i\leq n}\left\vert \lambda _{i}\right\vert } ( λ i , 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle \lambda _{i},1\leq i\leq n} , A- autobalioak izanik) betetzen da.

Frobeniusen norma

‖ ⋅ ‖ b {\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{b}} bektore-norma bat eta ‖ ⋅ ‖ m {\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{m}} matrize-norma bat bateragarriak direla esaten da, A eta x guztietarako hurrengoa betzen bada:

‖ A x ‖ b ≤ ‖ A ‖ m ‖ x ‖ b . {\displaystyle \lVert Ax\rVert _{b}\leq \lVert A\rVert _{m}\lVert x\rVert _{b}.}

Bektore-norma eta berak eragindako matrize-norma beti izango dira bateragarriak, baina ez eragindako matrize norma bat ere badago, Frobeniusen norma:

‖ A ‖ F = ( ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i , j 2 ) 1 2 {\displaystyle \lVert A\rVert _{F}=(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}^{2})^{\frac {1}{2}}} .

Norma hau bateragarria izanik bektore-norma euklidearrarekin:

‖ A x ‖ 2 ≤ ‖ A ‖ F ‖ x ‖ 2 . {\displaystyle \lVert Ax\rVert _{2}\leq \lVert A\rVert _{F}\lVert x\rVert _{2}.}

Propietateak

Edozein A ∈ R m × n {\displaystyle A\in {\displaystyle \mathbb {R} }^{m\times n}} matrizetarako hurrengo 3 propietateak betetzen dira:

  1. ‖ A ‖ 2 ≤ ‖ A ‖ F ≤ n ‖ A ‖ 2 . {\displaystyle \lVert A\rVert _{2}\leq \lVert A\rVert _{F}\leq {\sqrt {n}}\lVert A\rVert _{2}.}
  2. 1 n ‖ A ‖ ∞ ≤ ‖ A ‖ 2 ≤ m ‖ A ‖ ∞ . {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\lVert A\rVert _{\infty }\leq \lVert A\rVert _{2}\leq {\sqrt {m}}\lVert A\rVert _{\infty }.}
  3. 1 m ‖ A ‖ 1 ≤ ‖ A ‖ 2 ≤ n ‖ A ‖ 1 . {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {m}}}\lVert A\rVert _{1}\leq \lVert A\rVert _{2}\leq {\sqrt {n}}\lVert A\rVert _{1}.}

Propietate honen arabera, bektore edo matrize norma ezberdinek balio ezberdinak izan ditzaketen arren, baliokidetzat har daitezke, baten balio ezagutuz beste norma batena borna baitezakegu.

Erreferentziak

  • Zenbakizko metodoak MATLAB erabiliz, 2.edizioa- Eugenio Juan Mijangos Fernández liburua

Kanpo estekak

Autoritate kontrola
  • Wikimedia proiektuak
  • Wd Datuak: Q939253
  • Commonscat Multimedia: Matrix norms / Q939253
  • Identifikadoreak
  • GND: 4210047-1
  • Wd Datuak: Q939253
  • Commonscat Multimedia: Matrix norms / Q939253