Ramanujansche g-Funktion und G-Funktion

Die Ramanujanschen Funktionen g und G zählen zu den elliptischen Funktionen. Sie wurden nach dem indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan (श्रीनिवास रामानुजन) benannt. Diese beiden G-Funktionen stehen mit der elliptischen Lambda-Funktion und der Jacobischen Thetafunktion in algebraischer Beziehung.

Die Ramanujansche g-Funktion und die G-Funktion sind auf folgende Weise als unendliche Produkte^[1] definiert:

${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\exp \left({\frac {\pi }{24}}{\sqrt {x}}\right)\prod _{a=0}^{\infty }\{1-\exp[-(2a+1)\pi {\sqrt {x}}]\}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\exp \left({\frac {\pi }{24}}{\sqrt {x}}\right)[\exp(-\pi {\sqrt {x}});\exp(-2\pi {\sqrt {x}})]_{\infty }}$

${\displaystyle G(x)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\exp \left({\frac {\pi }{24}}{\sqrt {x}}\right)\prod _{a=0}^{\infty }\{1+\exp[-(2a+1)\pi {\sqrt {x}}]\}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\exp \left({\frac {\pi }{24}}{\sqrt {x}}\right){\frac {[\exp(-2\pi {\sqrt {x}});\exp(-4\pi {\sqrt {x}})]_{\infty }}{[\exp(-\pi {\sqrt {x}});\exp(-2\pi {\sqrt {x}})]_{\infty }}}}$

Bei den Ausdrücken mit den eckigen Klammern auf der rechten Seite sind hierbei die Pochhammer-Symbole dargestellt.

Deswegen lassen sich diese Funktionen auch über die Webersche Modulfunktion und die Dedekindsche Etafunktion definieren:^[2]

${\displaystyle g(x)=2^{-1/4}{\mathfrak {f}}_{1}(i{\sqrt {x}})=2^{-1/4}\,\eta ({\tfrac {1}{2}}i{\sqrt {x}})\,\eta (i{\sqrt {x}})^{-1}=}$

${\displaystyle =2^{-1/4}{\biggl \{}\sum _{a=-\infty }^{\infty }(-1)^{a}\exp {\biggl [}-(6a+1)^{2}{\frac {\pi }{24}}{\sqrt {x}}{\biggr ]}{\biggr \}}{\biggl \{}\sum _{a=-\infty }^{\infty }(-1)^{a}\exp {\biggl [}-(6a+1)^{2}{\frac {\pi }{12}}{\sqrt {x}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{-1}}$

${\displaystyle G(x)=2^{1/4}{\mathfrak {f}}_{1}^{-1}(i{\sqrt {x}}){\mathfrak {f}}_{2}^{-1}(i{\sqrt {x}})=2^{-1/4}\,\eta ({\tfrac {1}{2}}i{\sqrt {x}})^{-1}\,\eta (i{\sqrt {x}})^{2}\,\eta (2i{\sqrt {x}})^{-1}}$

Diese Summenformeln sind mit dem Pentagonalzahlensatz von den Produktformeln hergeleitet.

Alternativ können die Ramanujanschen Funktionen über die Jacobische Thetafunktion definiert werden:

${\displaystyle g(x)=2^{-1/12}\vartheta _{01}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{1/3}\vartheta _{10}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{-1/6}\vartheta _{00}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{-1/6}=}$

${\displaystyle =2^{-1/4}\{\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{12}}\pi ;\exp(-{\tfrac {1}{24}}\pi {\sqrt {x}})]-\vartheta _{00}[{\tfrac {5}{12}}\pi ;\exp(-{\tfrac {1}{24}}\pi {\sqrt {x}})]\}\{\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{12}}\pi ;\exp(-{\tfrac {1}{12}}\pi {\sqrt {x}})]-\vartheta _{00}[{\tfrac {5}{12}}\pi ;\exp(-{\tfrac {1}{12}}\pi {\sqrt {x}})]\}^{-1}}$

${\displaystyle G(x)=2^{-1/12}\vartheta _{00}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{1/3}\vartheta _{10}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{-1/6}\vartheta _{01}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{-1/6}}$

Dabei gelten für die Thetafunktionen^[3] folgende Definitionen:

${\displaystyle \vartheta _{00}(y;z)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-z^{2n})[1+2\cos(2y)z^{2n-1}+z^{4n-2}]}$

${\displaystyle \vartheta _{01}(y;z)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-z^{2n})[1-2\cos(2y)z^{2n-1}+z^{4n-2}]}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(y;z)=2z^{1/4}\cos(y)\prod _{n=1}^{\infty }(1-z^{2n})[1+2\cos(2y)z^{2n}+z^{4n}]}$

Bei beiden Ramanujanschen Funktionen werden alle positiven x-Werte reellen positiven Werten zugeordnet. Die Funktion g(x) beginnt am Punkt g(x = 0) = 0. Für positive x-Werte ist die Funktion g(x) monoton steigend. Im Gegensatz dazu weist die Funktion G(x) ein relatives Minimum bei dem Wert G(x = 1) = 1 auf.

Generell zählen alle g-Funktionswerte und G-Funktionswerte von positiven rationalen Zahlen zur Menge der reellen positiven algebraischen Zahlen:

${\displaystyle g(x\in \mathbb {Q} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}}$

${\displaystyle G(x\in \mathbb {Q} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}\geq 1}$

Die Umkehrfunktionen zu den Ramanujanschen Funktionen können allein mit den Integralen algebraischer Funktionen dargestellt werden. Bei diesen Integralen handelt es sich um vollständige elliptische Integrale erster Art.

${\displaystyle g^{\langle -1\rangle }(x)=2{\biggl (}\int _{0}^{1}{\frac {x^{6}}{\sqrt {y^{4}+2{\sqrt {x^{24}+1}}\,y^{2}+1}}}\mathrm {d} y{\biggr )}^{2}{\biggl (}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+2{\sqrt {x^{-24}+1}}\,y^{2}+1}}}\mathrm {d} y{\biggr )}^{-2}}$

${\displaystyle G^{\langle -1\rangle }(x)={\biggl (}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {y^{4}-2{\sqrt {-x^{-24}+1}}\,y^{2}+1}}}\mathrm {d} y{\biggr )}^{2}{\biggl (}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+2{\sqrt {-x^{-24}+1}}\,y^{2}+1}}}\mathrm {d} y{\biggr )}^{-2}}$

Unter Verwendung des Ausdrucks K(x) für das vollständige elliptische Integral erster Art können diese Umkehrfunktionen auf folgende Weise formuliert werden:

${\displaystyle g^{\langle -1\rangle }(x)=K({\sqrt {2}}x^{6}{\sqrt {{\sqrt {x^{24}+1}}-x^{12}}})^{2}K({\sqrt {x^{24}+1}}-x^{12})^{-2}}$

${\displaystyle G^{\langle -1\rangle }(x)=K{\biggl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {x^{-12}+1}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {-x^{-12}+1}}{\biggr )}^{2}K{\biggl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {x^{-12}+1}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-x^{-12}+1}}{\biggr )}^{-2}}$

Für die Umkehrfunktionen von den Funktionen g und G gelten folgende mathematische Sätze:

Wenn gilt: ${\displaystyle g^{\langle -1\rangle }(x_{1}\in \mathbb {A} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}}$, dann gilt: ${\displaystyle g^{\langle -1\rangle }(x_{1}\in \mathbb {A} ^{+})\in \mathbb {Q} ^{+}}$

Wenn gilt: ${\displaystyle G^{\langle -1\rangle }(x_{2}\in \mathbb {A} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}}$, dann gilt: ${\displaystyle G^{\langle -1\rangle }(x_{2}\in \mathbb {A} ^{+})\in \mathbb {Q} ^{+}}$

Folgende Gleichungen gelten für die Ramanujanschen Funktionen:

${\displaystyle G(x)=2^{-1/8}g(x)^{-1/2}\left[{\sqrt {g(x)^{24}+1}}+g(x)^{12}\right]^{1/8}}$

${\displaystyle [g(x)^{-24}g(1/x)^{-24}+8]^{2}=64[g(x)^{-24}+1][g(1/x)^{-24}+1]}$

${\displaystyle G(x)=G(1/x)}$

${\displaystyle g(x)g(4/x)=1}$

${\displaystyle g(4x)=2^{1/4}g(x)G(x)}$

${\displaystyle G(4x)={\sqrt {g(x)G(x)}}{\Bigl [}g(x)^{4}+G(x)^{4}{\Bigr ]}^{1/4}}$

${\displaystyle g(9x)^{12}-g(x)^{12}=2{\sqrt {2}}g(x)^{9}g(9x)^{9}+2{\sqrt {2}}g(x)^{3}g(9x)^{3}}$

${\displaystyle g(9x)=2^{-1/6}g(x)^{1/3}\left[{\sqrt {g(x)^{8}+1}}{\sqrt {2{\sqrt {g(x)^{16}-g(x)^{8}+1}}+2g(x)^{8}-1}}+g(x)^{8}+{\sqrt {g(x)^{16}-g(x)^{8}+1}}\right]^{1/3}}$

Einige Theoreme für Vervielfachungen mit ungeraden Quadratzahlen werden nur durch Gleichungen beschrieben, bei welchen die Lösungen für den Allgemeinfall von g und G nicht elementar dargestellt werden können. Ein solches Beispiel sind die beiden unten abgebildeten Theoreme für die Verfünfundzwanzigfachung. Diese Gleichungen sechsten Grades haben quintische Resolventen in der Bring-Jerrard-Form, deren Allgemeinfall nicht elementar lösbar ist.^[4] Auch können die Jacobischen elliptischen Sinus-, Cosinus- und Delta-Funktionenswerte vom Fünftel des vollständigen elliptischen Integrals erster Ordnung für den Allgemeinfall des elliptischen Moduls auch nicht elementar dargestellt werden. Dies funktioniert jedoch sehr wohl für das Drittel^[5] und das Neuntel des vollständigen elliptischen Integrals erster Ordnung.

${\displaystyle g(25x)^{6}-g(x)^{6}=2g(x)^{5}g(25x)^{5}+2g(x)g(25x)}$

${\displaystyle G(25x)^{6}+G(x)^{6}=2G(x)^{5}G(25x)^{5}-2G(x)G(25x)}$

${\displaystyle g(49x)^{8}+g(x)^{8}-7g(x)^{4}g(49x)^{4}=2{\sqrt {2}}g(x)^{7}g(49x)^{7}+2{\sqrt {2}}g(x)g(49x)}$

${\displaystyle G(49x)^{8}+G(x)^{8}+7G(x)^{4}G(49x)^{4}=2{\sqrt {2}}G(x)^{7}G(49x)^{7}+2{\sqrt {2}}G(x)G(49x)}$

${\displaystyle g(121x)^{12}-g(x)^{12}=}$

${\displaystyle =2{\sqrt {2}}g(x)g(121x)[g(x)^{2}g(121x)^{2}+1][g(x)^{4}g(121x)^{4}+3g(x)^{2}g(121x)^{2}+1][2g(x)^{4}g(121x)^{4}+3g(x)^{2}g(121x)^{2}+2]}$

${\displaystyle [g(169x)^{2}-g(x)^{2}][g(169x)^{4}+g(x)^{4}-7g(x)^{2}g(169x)^{2}]\{[g(169x)^{2}-g(x)^{2}]^{4}-g(x)^{2}g(169x)^{2}[g(169x)^{2}+g(x)^{2}]^{2}\}=}$

${\displaystyle =8g(x)^{13}g(169x)^{13}+8g(x)g(169x)}$

Folgende Beziehungen gelten zur elliptischen Lambdafunktion:^[6]

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)=\tan\{{\frac {1}{2}}\arctan[g(x)^{-12}]\}={\frac {1}{2}}g(x)^{-4}G(x)^{-8}={\sqrt {g(x)^{24}+1}}-g(x)^{12}}$

${\displaystyle g(x)=\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{-1/12}=[2\lambda ^{*}(x)]^{-1/12}[1-\lambda ^{*}(x)^{2}]^{1/12}}$

${\displaystyle G(x)=\sin\{2\arcsin[\lambda ^{*}(x)]\}^{-1/12}=[2\lambda ^{*}(x)]^{-1/12}[1-\lambda ^{*}(x)^{2}]^{-1/24}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(4x)={\biggl [}{\sqrt {{\sqrt {g(x)^{24}+1}}+1}}-g(x)^{6}{\biggr ]}^{2}{\biggl [}{\sqrt {{\sqrt {g(x)^{24}+1}}+1}}+g(x)^{6}{\biggr ]}^{-2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(9x)=\lambda ^{*}(x)^{3}\tan {\biggl \{}\arctan {\biggl [}{\sqrt {2{\sqrt {g(x)^{-16}-g(x)^{-8}+1}}-g(x)^{-8}+2}}+{\sqrt {g(x)^{-8}+1}}{\biggr ]}-{\frac {1}{4}}\pi {\biggr \}}^{4}}$

${\displaystyle g(25x)=g(x)^{5}\left\langle \operatorname {nc} \{{\tfrac {4}{5}}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x)\}-\operatorname {nc} \{{\tfrac {2}{5}}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x)\}\right\rangle }$

Dabei ist nc der Kehrwert der Jacobischen Funktion Cosinus Amplitudinis.

Werte der g-Funktion:

${\displaystyle g(1)=2^{-1/8}}$

${\displaystyle g(2)=1}$

${\displaystyle g(3)=2^{-1/6}(2+{\sqrt {3}})^{1/8}}$

${\displaystyle g(4)=2^{1/8}}$

${\displaystyle g(5)=2^{-1/4}({\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}+{\sqrt {2}})^{1/4}}$

${\displaystyle g(6)=({\sqrt {2}}+1)^{1/6}}$

${\displaystyle g(7)=2^{-1/4}(8+3{\sqrt {7}})^{1/8}}$

${\displaystyle g(8)=2^{1/8}({\sqrt {2}}+1)^{1/8}}$

${\displaystyle g(9)=2^{-1/6}({\sqrt {3}}+1)^{1/12}({\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}})^{1/4}}$

${\displaystyle g(10)=2^{-1/2}({\sqrt {5}}+1)^{1/2}}$

${\displaystyle g(14)={\frac {1}{2}}{\sqrt {3+{\sqrt {2}}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}$

${\displaystyle g(18)=({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})^{1/3}}$

${\displaystyle g(22)={\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}}$

${\displaystyle g(26)={\frac {1}{6}}{\sqrt {2{\sqrt {13}}-2}}({\sqrt {{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}{\sqrt[{6}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {26}}}}-{\sqrt {{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}}}{\sqrt[{6}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {26}}}})+{\frac {1}{3}}{\sqrt {{\sqrt {13}}+2}}}$

${\displaystyle g(30)=({\sqrt {10}}+3)^{1/6}({\sqrt {5}}+2)^{1/6}}$

${\displaystyle g(34)={\frac {1}{4}}{\sqrt {14+2{\sqrt {17}}}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {2{\sqrt {17}}-2}}}$

${\displaystyle g(38)={\frac {1}{6}}{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}[({\sqrt {57}}+6{\sqrt {2}}-1){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {57}}-16{\sqrt {2}}}}+({\sqrt {57}}-6{\sqrt {2}}+1){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {57}}+16{\sqrt {2}}}}+2{\sqrt {2}}]}$

${\displaystyle g(42)=(2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})^{1/6}(2{\sqrt {2}}+{\sqrt {7}})^{1/6}}$

${\displaystyle g(46)={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+{\sqrt {2}}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}}$

${\displaystyle g(50)={\frac {1}{144}}({\sqrt {5}}+1)[2{\sqrt[{12}]{5}}({\sqrt[{3}]{16+6{\sqrt {6}}}}+{\sqrt[{3}]{16-6{\sqrt {6}}}})+{\sqrt[{4}]{5}}(3-{\sqrt {5}})]^{2}-{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle g(54)=[({\sqrt {2}}+1)^{3/2}+{\sqrt {2}}({\sqrt {2}}+1)^{7/6}+{\sqrt {2}}({\sqrt {2}}+1)^{5/6}]^{1/3}}$

${\displaystyle g(58)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2{\sqrt {29}}+10}}}$

${\displaystyle g(62)={\frac {1}{4}}{\sqrt {9+5{\sqrt {2}}}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}({\sqrt {7+{\sqrt {31}}}}{\sqrt[{4}]{4{\sqrt {2}}+{\sqrt {31}}}}+{\sqrt {7-{\sqrt {31}}}}{\sqrt[{4}]{4{\sqrt {2}}-{\sqrt {31}}}})}$

${\displaystyle g(66)={\frac {1}{2}}\left[2({\sqrt {2}}+1)({\sqrt {126+14{\sqrt {33}}-32{\sqrt {2}}}}+9+{\sqrt {33}}-2{\sqrt {2}}){\sqrt[{4}]{{\sqrt {33}}-4{\sqrt {2}}}}+2({\sqrt {2}}-1)({\sqrt {126+14{\sqrt {33}}+32{\sqrt {2}}}}+9+{\sqrt {33}}+2{\sqrt {2}}){\sqrt[{4}]{{\sqrt {33}}+4{\sqrt {2}}}}\right]^{1/3}}$

${\displaystyle g(70)={\frac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1){\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}}$

Der Wert g(74) ist quintisch radikal beschaffen. Folglich muss für die Ermittlung dieses Wertes eine Gleichung fünften Grades gelöst werden:

${\displaystyle g(74)^{5}+g(74)^{3}+g(74)-{\sqrt {{\sqrt {37}}+6}}\left[g(74)^{4}-g(74)^{2}+1\right]=0}$

Werte^[7] der G-Funktion:

${\displaystyle G(1)=1}$

${\displaystyle G(2)=2^{-1/8}({\sqrt {2}}+1)^{1/8}}$

${\displaystyle G(3)=2^{1/12}}$

${\displaystyle G(4)=2^{-3/16}({\sqrt {2}}+1)^{1/4}}$

${\displaystyle G(5)=2^{-1/4}({\sqrt {5}}+1)^{1/4}}$

${\displaystyle G(6)=2^{-1/8}(2+{\sqrt {3}})^{1/8}({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})^{1/8}({\sqrt {2}}+1)^{-1/12}}$

${\displaystyle G(7)=2^{1/4}}$

${\displaystyle G(8)=2^{-1/4}({\sqrt {2{\sqrt {2}}+2}}+2)^{1/8}({\sqrt {2}}+1+{\sqrt {2{\sqrt {2}}+2}})^{1/8}}$

${\displaystyle G(9)=(2+{\sqrt {3}})^{1/6}}$

${\displaystyle G(10)=2^{-3/8}({\sqrt {10}}+3)^{1/8}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}({\sqrt {2}}+1)^{1/4}}$

${\displaystyle G(11)=2^{-1/4}3^{-1}({\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}+17}}-{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}-17}}+2)=2^{1/12}T_{TRI}^{1/3}=2^{-1/4}(T_{TRI}^{2}-T_{TRI})}$

${\displaystyle G(13)=2^{-1/4}({\sqrt {13}}+3)^{1/4}}$

${\displaystyle G(15)=2^{-1/12}({\sqrt {5}}+1)^{1/3}}$

${\displaystyle G(17)={\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {17}}}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {2{\sqrt {17}}-6}}}$

${\displaystyle G(19)=2^{-1/4}3^{-2/3}({\sqrt[{3}]{9+{\sqrt {57}}}}+{\sqrt[{3}]{9-{\sqrt {57}}}})={\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{18}}\cosh[{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arcosh} ({\tfrac {3}{4}}{\sqrt {6}})]}$

${\displaystyle G(21)=2^{-1/12}(3+{\sqrt {7}})^{1/6}(2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})^{1/12}}$

${\displaystyle G(23)=2^{-1/12}3^{-2/3}({\sqrt[{3}]{9+{\sqrt {69}}}}+{\sqrt[{3}]{9-{\sqrt {69}}}})={\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{18}}\cosh[{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arcosh} ({\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}})]=2^{1/4}\rho }$

${\displaystyle G(25)={\frac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}$

${\displaystyle G(27)=2^{1/12}3^{-1/3}({\sqrt[{3}]{2}}+1)}$

${\displaystyle G(29)=2^{-5/4}3^{-1}({\sqrt {29}}-5)^{1/4}[{\sqrt {29}}+3+({\sqrt {3}}+1){\sqrt[{3}]{2{\sqrt {29}}+6{\sqrt {3}}}}-({\sqrt {3}}-1){\sqrt[{3}]{2{\sqrt {29}}-6{\sqrt {3}}}}]}$

${\displaystyle G(31)=2^{-3/4}3^{-1}({\sqrt[{3}]{116+12{\sqrt {93}}}}+{\sqrt[{3}]{116-12{\sqrt {93}}}}+2)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{18}}\operatorname {csch} [{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}})]=2^{1/4}\psi }$

${\displaystyle G(33)=(10+3{\sqrt {11}})^{1/12}(2+{\sqrt {3}})^{1/4}}$

${\displaystyle G(35)=2^{-9/4}3^{-1}({\sqrt {5}}-1)[({\sqrt {7}}+{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{{\sqrt {35}}+3{\sqrt {3}}}}+({\sqrt {7}}-{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{{\sqrt {35}}-3{\sqrt {3}}}}]+2^{-1/4}3^{-1}({\sqrt {5}}+1)}$

${\displaystyle G(37)=({\sqrt {37}}+6)^{1/4}}$

${\displaystyle G(39)=2^{-13/12}({\sqrt {2{\sqrt {13}}+7}}+1)({\sqrt {13}}-3)^{1/3}}$

${\displaystyle G(41)={\frac {1}{8}}{\sqrt {6{\sqrt {41}}+38}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {14-2{\sqrt {41}}}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt[{4}]{40{\sqrt {41}}+8}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt[{4}]{40{\sqrt {41}}-248}}}$

${\displaystyle G(43)=2^{-1/4}3^{-1}({\sqrt[{3}]{35+3{\sqrt {129}}}}+{\sqrt[{3}]{35-3{\sqrt {129}}}}+2)={\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{72}}\operatorname {csch} [{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{4}}{\sqrt {3}})]}$

${\displaystyle G(45)=(4+{\sqrt {15}})^{1/6}({\sqrt {5}}+2)^{1/4}}$

Der Wert G(47) ist quintisch radikal, der Wert G(71) sogar septisch radikal beschaffen.^[8]

${\displaystyle [2^{-1/4}G(47)]^{5}-[2^{-1/4}G(47)]^{3}-2[2^{-1/4}G(47)]^{2}-2[2^{-1/4}G(47)]-1=0}$

Das Kürzel T_TRI steht für die Tribonacci-Konstante, das Kürzel ρ steht für die Plastische Zahl und das Kürzel ψ steht für die Supergoldene Zahl. Alle drei Konstanten sind die Lösungen von kubischen Gleichungen mit rationalen Koeffizienten an allen vier Gliedern:

Konstante	Algebraischer Ausdruck	Kubische Gleichung
Tribonacci-Konstante	${\displaystyle T_{TRI}={\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\tfrac {1}{3}}}$	${\displaystyle T_{TRI}^{3}-T_{TRI}^{2}-T_{TRI}-1=0}$
Plastische Zahl	${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{12}}({\sqrt[{3}]{9+{\sqrt {69}}}}+{\sqrt[{3}]{9-{\sqrt {69}}}})}$	${\displaystyle \rho ^{3}-\rho -1=0}$
Supergoldene Zahl	${\displaystyle \psi ={\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{116+12{\sqrt {93}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{116-12{\sqrt {93}}}}+{\tfrac {1}{3}}}$	${\displaystyle \psi ^{3}-\psi ^{2}-1=0}$

Der Mathematiker Srinivasa Ramanujan erkannte, dass diese Formel für alle positiven x-Werte gültig ist:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!}{(k!)^{4}}}{\biggl [}{\frac {g(x)^{12}}{8g(x)^{24}+8}}{\biggr ]}^{2k}{\biggl \{}{\frac {[1-\lambda ^{*}(x)^{2}]{\sqrt {x}}}{[1+\lambda ^{*}(x)^{2}]^{2}}}-{\frac {{\sqrt {x}}E[\lambda ^{*}(x)]}{[1+\lambda ^{*}(x)^{2}]K[\lambda ^{*}(x)]}}+{\frac {\pi }{4[1+\lambda ^{*}(x)^{2}]K[\lambda ^{*}(x)]^{2}}}+{\frac {k[g(x)^{24}-1]{\sqrt {x}}}{g(x)^{24}+1}}{\biggr \}}}$

Für alle positiven rationalen x-Werte entstehen in den geschweiften Klammern stets algebraische Ausdrücke.

Bei dem Wert x = 58 entsteht die weltberühmte und rasant konvergierende von Ramanujan entdeckte Summenformel für den Kehrwert der Kreiszahl:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2{\sqrt {2}}(4k)!(1103+26390k)}{9801(k!)^{4}396^{4k}}}}$

Bei dem Wert x = 22 entsteht diese ebenso sehr schnell konvergierende Summenformel:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(19+280k)}{18{\sqrt {11}}(k!)^{4}1584^{2k}}}}$

Bei dem Wert x = 10 entsteht jene auch sehr schnell konvergierende Summenformel:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2{\sqrt {2}}(4k)!(1+10k)}{9(k!)^{4}12^{4k}}}}$

• Srinivasa Ramanujan: Modular Equations and Approximations to pi. Quart. J. Pure. Appl. Math. 45, 350–372, 1913–1914.
• J. M. und P. B. Borwein: Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, Seiten 139, 172 und 298, 1987.
• D. H. Bailey, J. M. und P. B. Borwein: Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits. The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 3 (Mar., 1989), pp. 215–216
• Bruce C. Berndt, Sen–Shan Huang, Jaebum Sohn und Seung Hwan Son: Some theorems on the Rogers-Ramanujan continued fraction in Ramanujan's lost notebook. pp. 19–21

1. ↑ Eric W. Weisstein: Ramanujan g- and G-Functions. Abgerufen am 12. Juli 2021 (englisch). 
2. ↑ Eric W. Weisstein: Dedekind Eta Function. Abgerufen am 12. Juli 2021 (englisch). 
3. ↑ Derivative of the Jacobi theta function: Introduction to the Jacobi theta functions. Abgerufen am 1. August 2021. 
4. ↑ Eric W. Weisstein: Quintic Equation. Abgerufen am 12. Juli 2021 (englisch). 
5. ↑ http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa73/aa7316.pdf
6. ↑ Eric W. Weisstein: Elliptic Lambda Function. Abgerufen am 12. Juli 2021 (englisch). 
7. ↑ 0026: Part 5, Complete Elliptic Integral of the First Kind - A Collection of Algebraic Identities. Abgerufen am 12. Juli 2021. 
8. ↑ A084540 - OEIS. Abgerufen am 12. Juli 2021.