Ziel des Hamilton-Jacobi-Formalismus (benannt nach den Mathematikern William Rowan Hamilton und Carl Gustav Jakob Jacobi) der Klassischen Mechanik ist es, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen mittels einer besonderen kanonischen Transformation
![{\displaystyle (q,p)\rightarrow (q',p')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/863ea2c3d117c0691299f6a70a679bb0e2b57234)
zu vereinfachen. Dadurch wird eine neue Hamilton-Funktion erzeugt, die identisch Null ist:
![{\displaystyle {\tilde {H}}(q',p',t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3277de5e3a3b6d8b8f64bd7ba18658f8414625e9)
Dies hat zur Folge, dass sowohl die transformierten generalisierten Ortskoordinaten
, als auch ihre kanonisch konjugierten Impulskoordinaten
Erhaltungsgrößen sind, dass also alle dynamischen Größen in der neuen Hamilton-Funktion zyklische Koordinaten sind:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial p'_{k}}}&={\dot {q}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad q'_{k}=\mathrm {const} \\-{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial q'_{k}}}&={\dot {p}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad p'_{k}=\mathrm {const} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f07e5c4ffe1151a5880aa22c7f8d0bcbb64047)
Diese transformierten Bewegungsgleichungen sind trivial, das Problem verlagert sich stattdessen auf das Finden einer passenden Erzeugenden
. Indem man ihre partielle Ableitung nach der Zeit zur untransformierten Hamilton-Funktion addiert, erhält man die transformierte Hamilton-Funktion:
![{\displaystyle {\tilde {H}}(q',p',t)=H(q,p,t)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17dc1fd36f60c0e1fd87d2ab3594881c89efdc30)
Dabei wird speziell eine erzeugende Funktion
gewählt, die von den alten Ortskoordinaten
und den neuen (konstanten) Impulsen
abhängt, so dass
![{\displaystyle p_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial q_{k}}}\ ,\quad q'_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial p'_{k}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6945be9ee9ef1396e96e3f3a334fdfbe56c33ec7)
Eingesetzt in
ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für
:
![{\displaystyle H\!\left(q_{k},{\frac {\partial {S}}{\partial q_{k}}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e53dc1c147dda2a006e8d3375761645aac0de410)
Sie ist eine partielle Differentialgleichung in den Variablen
und
für die Hamiltonsche Wirkungsfunktion
(die Verwendung des Begriffs „Wirkung“ wird weiter unten begründet).
Herleitung der Hamilton-Jacobi-Gleichung aus dem Wirkungsintegral
Zur konkreten Herleitung dieser Differentialgleichung betrachtet man das Wirkungsfunktional
![{\displaystyle S[q](t)=\int _{0}^{t}L(s,q(s),{\dot {q}}(s))ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bffc6da360bf4e77746cd4e501e87d6a7b3419ce)
mit der Lagrange-Funktion
. Die totale Zeitableitung hiervon gibt die Lagrange-Funktion zurück, d.h.
.
Sieht man
jedoch als Funktion der Koordinaten
und
an, so ergibt sich für das totale Zeit-Differential
.
Die partielle Koordinatenableitung ergibt zusammen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen
![{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}=\int _{0}^{t}{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}ds=\int _{0}^{t}{\frac {d}{ds}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}ds={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}=p_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4931a53770a7fcf70d30c7e51cbbfcd2f52fcb03)
mit den kanonischen Impulsen
. Durch Vergleich der totalen Zeitableitungen von
erhält man somit
,
woraus nach der Definition der Hamilton-Funktion die behauptete Gleichung sofort folgt.
Für konservative Systeme (d. h.
nicht explizit zeitabhängig:
) wird zur ursprünglichen Hamilton-Funktion, die von den alten Impulsen und Orten abhängt, eine erzeugende Funktion
konstruiert, die sie in eine neue Hamilton-Funktion transformiert, welche nur noch von den neuen (konstanten) Impulsen abhängt
![{\displaystyle H(q,p)\Rightarrow {\tilde {H}}(p')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09a560fd22bfe94ab48209a3ea8cf36c3305622)
Dabei sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung:
![{\displaystyle {\dot {p}}'=-{\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial q'}}=0\Leftrightarrow p'=\mathrm {const} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c585c031cf874ebf03c9b98938b2e0fdf4460865)
die neuen Orte ändern sich nur linear mit der Zeit:
mit ![{\displaystyle C,b=\mathrm {const} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff7121a0121581a4728ec487fcfb50631759c68e)
Für
muss gelten
![{\displaystyle p={\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746a548526784cc8721e65d272388d4447b42226)
![{\displaystyle q'={\frac {\partial S(q,p')}{\partial p'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aaa48bde4549f4a5a0aabdb20e0dd108e111eca)
Eingesetzt in die Hamilton-Funktion ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für
für konservative Systeme:
![{\displaystyle H(q,p)\Rightarrow H\left(q,{\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)={\tilde {H}}(p').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a20f1d9af6cb7c5d92f387d74d4e80ea73c2d162)
Zur Veranschaulichung von
wird die totale Ableitung nach der Zeit berechnet
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\,S(q,p')&={\frac {\partial S}{\partial q}}{\dot {q}}+{\frac {\partial S}{\partial p'}}{\dot {p}}'\\&=p{\dot {q}}+q'{\dot {p}}'\\&=p{\dot {q}}\quad \quad \quad \mathrm {wegen} \;{\dot {p}}'=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5355773e2e5be73318508a0827d58b1d20703aa)
Benutzt man nun die lagrangeschen Bewegungsgleichungen (mit Lagrangefunktion
, wobei
die kinetische Energie ist,
das Potential):
.
Die zeitliche Integration liefert
![{\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}2T\ \mathrm {d} t=W,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8565838a8ada5116f7944dc2445e033f01cc92db)
also ist
mit dem Wirkungsintegral identisch.
Beispiel: Der eindimensionale harmonische Oszillator
Sei
ein beliebiges Potential. Die Hamilton-Funktion lautet
![{\displaystyle H(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+U(q),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167dd65e342918f4cee30135d611c1c1030c3e3c)
die Hamilton-Jacobi-Gleichung
![{\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)^{2}+U(q)={\tilde {H}}=E.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52af13f5837b6b81e42c841d9b587c5f75cb1015)
Beim eindimensionalen Oszillator ist
die einzige Konstante der Bewegung. Da
ebenfalls konstant sein muss, setzt man
, was für alle konservativen Systeme möglich ist.
![{\displaystyle \left({\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)^{2}+2mU(q)=2mp'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe38b0539ebfb33d2fbce2280242b78c76335084)
Durch Integrieren folgt
![{\displaystyle S(q,p')={\sqrt {2m}}\int _{q_{0}}^{q}{\sqrt {(p'-U({\tilde {q}}))}}\,\mathrm {d} {\tilde {q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e7b773c440dcba563c11d90e52d35685eeeaf6)
mit
![{\displaystyle q'={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {q}}}{\sqrt {p'-U({\tilde {q}})}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571a1feaf12bcb8333b87767dae4498e448d3a37)
Wegen der Hamiltonschen Bewegungsgleichung gilt außerdem
![{\displaystyle {\dot {q}}'={\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial p'}}={\frac {\partial E}{\partial p'}}={\frac {\partial p'}{\partial p'}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bf8ca8b3e3f1461b1b3e86c3d3293dad589a9a)
![{\displaystyle \Rightarrow q'=t-{t_{0}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/906e9c659b8a7723f4dcae44efa6e4e2470c412c)
Um die Bewegung in
und
darstellen zu können, muss zu den alten Koordinaten zurücktransformiert werden
![{\displaystyle p(t)={\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}={\sqrt {2m(p'-U(q))}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00b4dcbe0e9b1b11cbad662fc1a102bf6ccee945)
![{\displaystyle q'=t-{t_{0}}={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {q}}}{\sqrt {E-U({\tilde {q}})}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08015438046cb60e6a467d0e33c784c0b1551735)
Für den Spezialfall des harmonischen Oszillators ergibt sich mit
![{\displaystyle p(t)={\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}aq^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9758651848fb0f5b79be7336e396e643c14ce3a7)
![{\displaystyle q'=t-{t_{0}}={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {q}}}{\sqrt {E-{\frac {1}{2}}a{\tilde {q}}^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/136218a96dded5ae3b1e5a7beb9f7cc2f6d2b98e)
Somit (für den Fall
)
![{\displaystyle t-{t_{0}}={\sqrt {\frac {m}{a}}}\arcsin {\sqrt {\frac {a}{2E}}}q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afbd635bdcbd91e47f5c56f6347a43f1246cc0f6)
und letztlich
![{\displaystyle q(t)={\sqrt {\frac {2E}{a}}}\sin {\sqrt {\frac {a}{m}}}(t-{t_{0})},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b557b9b0b5d17ee3d7987f018af0d6d7e0f924)
![{\displaystyle p(t)={\sqrt {2mE}}\cos {\sqrt {\frac {a}{m}}}(t-{t_{0}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd2055d424328fdd52ac36916e0cc9681532a26)
Literatur
- Herbert Goldstein; Charles P. Poole, Jr; John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5.
- Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.