Hom funktor

Hom funktor je kovariantní bifunktor v lokálně malé kategorii C {\displaystyle {\mathcal {C}}} typu C o p × C → S e t {\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {C}}\rightarrow \mathbf {Set} } definovaný pro A , B ∈ O b ( C ) {\displaystyle A,B\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}})} takto:

H o m ( A , − ) {\displaystyle Hom(A,-)} je kovariantní a pro X , Y ∈ O b ( C ) , f : X → Y {\displaystyle X,Y\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}}),f:X\rightarrow Y} je H o m ( A , f ) {\displaystyle Hom(A,f)} funkce H o m ( A , f ) : H o m ( A , X ) → H o m ( A , Y ) , H o m ( A , f ) ( g ) = f ∘ g {\displaystyle Hom(A,f):Hom(A,X)\rightarrow Hom(A,Y),Hom(A,f)(g)=f\circ g} , kde g ∈ H o m ( A , X ) {\displaystyle g\in Hom(A,X)} .

Podobně H o m ( − , B ) {\displaystyle Hom(-,B)} je kontravariantní a pro X , Y ∈ O b ( C ) , h : X → Y {\displaystyle X,Y\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}}),h:X\rightarrow Y} je H o m ( h , B ) {\displaystyle Hom(h,B)} funkce H o m ( h , B ) : H o m ( Y , B ) → H o m ( X , B ) , H o m ( h , B ) ( g ) = g ∘ h {\displaystyle Hom(h,B):Hom(Y,B)\rightarrow Hom(X,B),Hom(h,B)(g)=g\circ h} , kde g ∈ H o m ( Y , B ) {\displaystyle g\in Hom(Y,B)} .

H o m ( − , − ) {\displaystyle Hom(-,-)} je tedy kovariantní bifunktor C o p × C → S e t {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\times {\mathcal {C}}\rightarrow \mathbf {Set} } .