Eliptické integrály

Eliptický integrál je v integrálním počtu jednou z řady příbuzných funkcí definovaných pomocí integrálů, které poprvé studovali Giulio Fagnano a Leonhard Euler okolo roku 1750. Jejich název pochází z toho, že původně vznikly v souvislosti s problémem nalezení délky oblouku elipsy.

Definice

Moderní matematika definuje eliptický integrál jako funkci f {\displaystyle f} , kterou lze vyjádřit ve tvaru:

f ( x ) = ∫ c x R ( t , P ( t ) ) d t {\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)\,dt} ,

kde R {\displaystyle R} je racionální funkce dvou proměnných, P {\displaystyle P} je polynom třetího nebo čtvrtého stupně bez násobných kořenů a c {\displaystyle c} je konstanta.

Druhy integrálů

Provedeme-li v Jacobiho integrálu substituci t = sin ⁡ φ {\displaystyle t=\sin \varphi } , dostaneme úplný eliptický integrál prvního druhu (s modulem k):

F ( k , π 2 ) = ∫ 0 π 2 d φ 1 − k 2 sin 2 ⁡ φ {\displaystyle F(k,{\frac {\pi }{2}})=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}} .

Úplný eliptický integrál druhého druhu máme ve tvaru:

E ( k , π 2 ) = ∫ 0 π 2 1 − k 2 sin 2 ⁡ φ     d φ {\displaystyle E(k,{\frac {\pi }{2}})=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\ \ d\varphi }

kde 0 < k < 1 {\displaystyle 0<k<1} .

Odkazy

Externí odkazy

  • Logo Wikimedia Commons Obrázky, zvuky či videa k tématu Jacobiho eliptické funkce na Wikimedia Commons

Literatura

BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9.