Diferència

Aquest article tracta sobre l'operació entre conjunts. Vegeu-ne altres significats a «resta».

La diferència és una operació entre dos conjunts. Aquesta operació crea un conjunt, anomenat conjunt diferència, al qual pertanyen tots els elements que pertanyen al primer conjunt i no pertanyen al segon conjunt. S'expressa amb el símbol ∖ o \ (${\displaystyle \setminus }$ o ${\displaystyle \smallsetminus }$) o amb el símbol de resta (−).

Per exemple:

Donat A={polítics} i B={europeus}, si definim ${\displaystyle C=A\setminus B}$, llavors C={polítics no europeus}. ${\displaystyle C=A\setminus B}$ es llegeix: el conjunt C és igual a la diferència dels conjunts A i B. També es pot llegir: C és el conjunt diferència dels conjunts A i B.

Propietats de la diferència

Diferència d'un conjunt amb si mateix

Quan fem la diferència d'un conjunt amb si mateix, el conjunt diferència és el conjunt buit.

${\displaystyle A\setminus A=\emptyset \ }$

Element neutre

El conjunt buit ∅ és l'element neutre de la diferència.

${\displaystyle A\setminus \emptyset =A\ }$

Propietats no aplicables

• La propietat commutativa no és aplicable a la diferència de conjunts.

${\displaystyle A\setminus B\neq B\setminus A}$

• La propietat associativa tampoc és aplicable a la diferència de conjunts.

${\displaystyle A\setminus B\setminus C\neq (A\setminus B)\setminus C\neq A\setminus (B\setminus C)}$

Per exemple:

Donat A={1,2,3,4,6}, B={2,4,6} i c={3,6,9}, llavors:

(A ∖ B) ∖ C = ({1,2,3,4,6} ∖ {2,4,6}) ∖ {3,6,9} = {1,3} ∖ {3,6,9} = {1}

A ∖ (B ∖ C) = {1,2,3,4,6} ∖ ({2,4,6} ∖ {3,6,9}) = {1,2,3,4,6} ∖ {2,4} = {1,3,6}

{1} ≠ {1,3,6}

Viccionari